确界存在定理：实数系的完备性¶
本页面介绍实数系最重要的一条性质——确界存在定理（也称实数系的完备性），以及由它推出的三个经典结论：下确界的存在性、阿基米德性质、有理数的稠密性。
本页的定位比较特殊：定理本身的证明要下一节才给出。本节先说明"为什么 \(\mathbb{Q}\) 不够用"，再把它作为已知事实承认下来，只用它推结论；凡是"承认待证"的地方，正文都会明确标出。确界的定义、唯一性与运算性质见上界、下界与确界。
前置知识
- 上界、下界与确界：上界、下界、\(\sup\) 与 \(\inf\) 的定义与 \(\varepsilon\) 刻画
- 有理数与无理数：\(\sqrt 2\)、\(\sqrt 3\) 都不是有理数
- 有序域的运算律与不等式的性质（两边乘负数时不等号反向等）
- 绝对值 \(\lvert x \rvert\) 与区间记号
有理数系的"空隙"¶
超纲（可跳过）
为什么需要实数是本课要理解的动机，但下面这个"\(\mathbb{Q}\) 中没有上确界"的具体论证（\(r(q)\) 构造）超出本课要求，第一遍可以跳过；"有理数不够用"这个结论要记住。
问题：集合
在 \(\mathbb{Q}\) 中有没有上确界？
\(S\) 显然非空（\(0 \in S\)）且有上界（\(2\) 就是：\(x \ge 2\) 时 \(x^2 \ge 4 > 2\)）。也就是说，"非空"与"有上界"这两个条件都满足了。下面证明它在 \(\mathbb{Q}\) 中没有上确界。
关键工具。 对 \(q \in \mathbb{Q}\) 定义
两个直接计算是全部技巧的来源：
\(q \in \mathbb{Q}\) 时 \(r(q) \in \mathbb{Q}\)（有理数对四则运算封闭）；又当 \(q > -2\) 时分母 \(q + 2 > 0\)，于是上面两式的符号完全由 \(2 - q^2\) 与 \(q^2 - 2\) 决定。这就是同一个 \(r(q)\) 能一次性处理两个方向的原因。
（a）\(q^2 < 2\) 的有理数不是 \(S\) 的上界。 设 \(q \in \mathbb{Q}\)、\(q^2 < 2\)。此时 \(-\sqrt 2 < q < \sqrt 2\)，故 \(q + 2 > 2 - \sqrt 2 > 0\)。由第一式，
即 \(r(q) > q\)；由第二式，
即 \(r(q)^2 < 2\)，故 \(r(q) \in S\)。于是 \(S\) 中存在比 \(q\) 更大的元素 \(r(q)\)，\(q\) 不可能是 \(S\) 的上界。
（b）\(q^2 > 2\) 的正有理数不是最小的上界。 设 \(q \in \mathbb{Q}\)、\(q > 0\)、\(q^2 > 2\)。此时 \(q + 2 > 0\)，由第一式
即 \(r(q) < q\)；又 \(r(q) > 0\)（分子 \(2q + 2 > 0\)、分母 \(q + 2 > 0\)），故 \(0 < r(q) < q\)。由第二式
即 \(r(q)^2 > 2\)。于是对任意 \(x \in S\)：若 \(x < 0\)，则 \(x < 0 < r(q)\)；若 \(x \ge 0\)，则由 \(x^2 < 2 < r(q)^2\) 得 \(x < r(q)\)。总之 \(r(q)\) 是 \(S\) 的上界，而它比 \(q\) 小，所以 \(q\) 不是最小的上界。
（c）\(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\)。 若 \(\sqrt 2 = \frac{p}{q}\) 且 \(p, q \in \mathbb{N}^{*}\) 互素，则 \(p^2 = 2q^2\)，故 \(p^2\) 为偶数、\(p\) 为偶数。写 \(p = 2k\)，代入得 \(4k^2 = 2q^2\)，即 \(q^2 = 2k^2\)，同理 \(q\) 也是偶数，与 \(p, q\) 互素矛盾。
结论。 设 \(q \in \mathbb{Q}\) 是 \(S\) 的任意一个上界。因为 \(1 \in S\)（\(1^2 = 1 < 2\)），故 \(q \ge 1 > 0\)。若 \(q^2 < 2\)，则 \(q \in S\)，由 (a) 就有比 \(q\) 更大的元素属于 \(S\)，与 \(q\) 是上界矛盾；所以 \(q^2 \ge 2\)。而 \(q^2 = 2\) 由 © 不可能，故 \(q^2 > 2\)，再由 (b) 知 \(r(q) \in \mathbb{Q}\) 是比 \(q\) 更小的上界。于是每个上界都不是最小的，\(\mathbb{Q}\) 中不存在 \(S\) 的上确界。
换句话说，有理数轴上"看得出来有一条缝"：\(S\) 里所有的数都在缝的左边，\(\mathbb{Q}\) 中每个比缝大的数都在右边，而缝的位置 \(\sqrt 2\) 本身不在 \(\mathbb{Q}\) 里。\(\mathbb{R}\) 做的事就是把这条缝补上。
确界存在定理¶
定理（确界存在定理 / 实数系完备性）
设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空。若 \(S\) 有上界，则 \(S\) 在 \(\mathbb{R}\) 中必有上确界，即存在 \(\beta \in \mathbb{R}\) 使
本定理的证明待补
这里必须说清楚：上面这条定理在本节只是被承认，没有被证明。
它是实数系的公理化性质，证明取决于实数的构造方式：
- 用 Dedekind 分割定义实数时，\(\mathbb{R}\) 的元素本身就是 \(\mathbb{Q}\) 的某种分割，定理的证明相当于"把一切上界所对应的分割取出来，再取它们的最小者"；
- 用 Cantor 基本列（有理数基本列的等价类）定义实数时，则要证明基本列在 \(\mathbb{R}\) 中一定收敛，再由此得到确界。
这些内容将在下一节给出。本节只在承认它的前提下继续，并由它推出几条结论。
（笔记里凡是标"待补"的结论，都是这类"已陈述、证明尚未给出"的内容。做练习时不要把待补的定理当成已经证过的结论来引用，也不要说"由定理的证明过程可知"。）
它与 \(\mathbb{Q}\) 的差别
\(\mathbb{Q}\) 已经是一条相当完整的数轴：
- 它是有序域：四则运算与大小关系满足一切熟悉的运算法则；
- 它是稠密的：任意两个有理数之间还有有理数（本页稍后会把这一点证出来）；
- 它含有 \(\mathbb{Z}\)，用有理数可以逼近数轴上的任何位置。
但它不完备：上一小节给出了一个非空、有上界却没有上确界的例子。所以"有序域 + 稠密性"合起来也推不出完备性。完备性是 \(\mathbb{R}\) 相对于 \(\mathbb{Q}\) 多出来的那一条性质，不是"有序域"自动带来的。
由确界存在定理推出的结论¶
超纲（可跳过）
由确界存在定理推出下确界的存在性、阿基米德性质与有理数稠密性，这三条都属于实数理论的后续内容，超出本课要求，是为完整性补上的，第一遍可以跳过。
以下三条都只依赖确界存在定理（以及确界的定义与运算律）。证明里凡是"存在 \(x\)"的地方，都具体指出 \(x\) 怎么取。
命题 1（下确界的存在性）
设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空。若 \(S\) 有下界，则 \(S\) 在 \(\mathbb{R}\) 中有下确界。
证明
设 \(\alpha\) 是 \(S\) 的下界，即对一切 \(x \in S\) 有 \(x \ge \alpha\)。记
\(S\) 非空，故 \(-S\) 非空；又对一切 \(x \in S\) 有 \(-x \le -\alpha\)，故 \(-S\) 有上界 \(-\alpha\)。由确界存在定理，存在 \(\beta \in \mathbb{R}\) 使 \(\beta = \sup (-S)\)。下面证明 \(-\beta = \inf S\)。
- \(-\beta\) 是 \(S\) 的下界：对任意 \(x \in S\) 有 \(-x \in -S\)，故 \(-x \le \beta\)，于是 \(x \ge -\beta\)。
-
\(-\beta\) 是最大下界：取任意 \(\varepsilon > 0\)。因为 \(\beta = \sup (-S)\)，由 \(\varepsilon\) 刻画存在 \(y \in -S\) 使 \(y > \beta - \varepsilon\)。写 \(y = -x\)（其中 \(x \in S\)），得 \(-x > \beta - \varepsilon\)，即
\[ x < -\beta + \varepsilon . \]所以 \(-\beta + \varepsilon\) 不是 \(S\) 的下界。
故 \(-\beta = \inf S\)，即 \(S\) 有下确界。这与上界、下界与确界中"\(\sup (-S) = -\inf S\)"是同一件事，只是那里假定了 \(\inf S\) 存在，这里把它推了出来。
命题 2（阿基米德性质）
对任意 \(x \in \mathbb{R}\)，存在 \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 使 \(n > x\)。等价地说，\(\mathbb{N}^{*}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中无上界。
证明
用反证法。假设 \(\mathbb{N}^{*}\) 有上界。\(\mathbb{N}^{*}\) 非空且有上界，由确界存在定理，存在
由上确界的定义，比 \(\alpha\) 小的数 \(\alpha - 1\) 不是 \(\mathbb{N}^{*}\) 的上界，故存在 \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 使
两边加 \(1\) 得 \(n + 1 > \alpha\)。而 \(n + 1 \in \mathbb{N}^{*}\)，这与 \(\alpha\) 是 \(\mathbb{N}^{*}\) 的上界矛盾。故 \(\mathbb{N}^{*}\) 无上界。
把结论用在 \(\frac1\varepsilon\) 上：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 使 \(n > \frac1\varepsilon\)，即
这个"取足够大的 \(n\)"的写法在后面的章节里反复出现。
使用阿基米德性质时注意来源
- 这条性质的证明用到了确界存在定理，所以不能反过来用它去证明确界存在定理——那是循环论证。
- 它和确界的存在性一样，是 \(\mathbb{R}\) 的完备性的推论，而不是"显然"的算术事实。事实上存在非阿基米德有序域（例如有理函数域 \(\mathbb{R}(x)\)，其中 \(x\) 大于一切自然数），在那里这条性质不成立。
命题 3（有理数的稠密性）
设 \(a, b \in \mathbb{R}\)，\(a < b\)。则存在 \(r \in \mathbb{Q}\) 使
证明
第一步：把区间放大到长度大于 \(1\)。 由阿基米德性质（命题 2），取 \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 使
第二步：取 \(na\) 右侧的第一个整数。 由阿基米德性质，集合
非空；又 \(A\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的有下界子集，故有最小元（理由见下方折叠块）。取 \(m = \min A\)，则
左边是因为 \(m - 1 \notin A\)，即 \(m - 1 \le na\)；右边是因为 \(m \in A\)。常用的写法是 \(m = \lfloor na \rfloor + 1\)。
第三步：验证 \(\frac mn\) 落在区间内。
其中中间一步用了 \(1 < n(b - a)\)。结合 \(na < m\) 得
两边除以 \(n > 0\)：
取 \(r = \frac mn \in \mathbb{Q}\) 即得所要。
这个证明的每一步都有出处：\(n\) 来自阿基米德性质，\(m\) 来自整数集的良序性，而良序性只用到 \(\mathbb{N}\) 本身的性质，没有循环。
\(\lfloor x \rfloor\) 为什么存在
设 \(x \in \mathbb{R}\)。由阿基米德性质，集合
非空。取 \(k_0 \in A\)，令
\(B\) 非空（\(k_0 \in A\) 且 \(k_0 \le k_0\)，故 \(0 \in B\)），由 \(\mathbb{N}\) 的良序性（\(\mathbb{N}\) 的任意非空子集有最小元），它有最小元 \(k_0 - m\)。于是 \(m \in A\) 且 \(m\) 是 \(A\) 的最小元；\(m\) 的这个性质等价于
所以 \(m = \lfloor x \rfloor + 1\)。
（\(x < m\) 是因为 \(m \in A\)；\(m - 1 \le x\) 是因为若 \(m - 1 > x\)，则 \(m - 1\) 也会属于 \(A\)，与 \(m\) 的最小性矛盾。）
稠密不等于完备
\(\mathbb{Q}\) 是稠密的（刚刚证过），却仍不完备（本页开头）。两件事必须分开记：
| 性质 | 说的事情 | 满足的例子 | 不满足的例子 |
|---|---|---|---|
| 稠密 | 任意两个元素之间还有元素，是局部性质 | \(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{Z}\) |
| 完备 | 非空有上界的子集必有上确界，是整体性质 | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{Z}\) |
可见二者互不推出。表中"\(\mathbb{Z}\) 不完备"指的是：把 \(\mathbb{Z}\) 看成独立的数系时，集合
非空且有上界（\(0\) 就是），但在 \(\mathbb{Z}\) 中没有上确界——它在 \(\mathbb{R}\) 中的上确界 \(\frac12\) 不是整数。
一句话：稠密保证"缝隙两侧都有点"，完备保证"缝隙本身也在数系里"。\(\mathbb{Q}\) 缺的正是后一条。
完备性的其它等价形式（预告）¶
同一件事的不同面貌
在 \(\mathbb{R}\) 中，下面几条命题彼此等价：任意一条都可以推出其余各条（推法有难有易）。
| 命题 | 大意 | 在本笔记中的位置 |
|---|---|---|
| 确界存在定理 | 非空有上界的实数子集必有上确界 | 本页（证明待补） |
| 单调有界定理 | 单调有界的数列必收敛 | 2.2 及以后 |
| 闭区间套定理 | 一列嵌套的闭区间的交非空 | 2.2 及以后 |
| Cauchy 收敛准则 | 数列收敛当且仅当它是基本列 | 2.2 及以后 |
| 聚点原理 | 有界无穷点集必有聚点（有界数列必有收敛子列） | 2.2 及以后 |
| 有限覆盖定理 | 闭区间的任一开覆盖都有有限子覆盖 | 连续函数一章 |
它们描述的是同一个性质的六个侧面：\(\mathbb{R}\) 对"取极限"这件事是封闭的。本笔记以确界存在定理为出发点，其余各条在后面的章节依次出现，届时会互相印证。
常见误区¶
易错点
-
确界存在不等于确界可取到。 定理只保证 \(\sup S\) 是一个实数，不保证它属于 \(S\)；要写 \(\sup S = \max S\)，必须单独验证 \(\sup S \in S\)。例如
\[ S = \{\, \tfrac1n \mid n \in \mathbb{N}^{*} \,\}: \qquad \sup S = 1 \in S, \qquad \inf S = 0 \notin S . \] -
定理的两个前提缺一不可。 "非空"与"有上界"都要满足：\(\mathbb{N}^{*}\) 非空但无上界，它没有上确界；\(\varnothing\) 有上界但不是非空，按约定记 \(\sup \varnothing = -\infty\)，那不是一个实数，定理对它不适用。
- \(\mathbb{Q}\) 中定理失效，说明完备性不是"有序域"的普遍性质。 不能因为 \(\mathbb{Q}\) 满足一切熟悉的运算律，就以为它和 \(\mathbb{R}\) 一样可以随便取确界；差别恰恰在这里。
- 不要把阿基米德性质当成出发点。 它是由确界存在定理证出来的（命题 2），拿它去证明确界存在定理就是循环论证。书写时如果用到"取足够大的 \(n\)"，最好显式注明"由阿基米德性质"。
- 稠密性与完备性不能互相替代。 \(\mathbb{Q}\) 稠密但不完备；\(\mathbb{Z}\) 既不稠密，也不满足"非空有上界的子集必有上确界"。所以"区间里有的是点"推不出"极限一定落在数系内"。
- "已证"与"承认待证"要分清。 本页里确界存在定理是承认的，命题 1、2、3 是已证的。引用时不要把待证的定理写成"已证明"，也不要用它还没给出的证明去做推理。