集合¶

本页面列出高中已经学过的集合知识——元素与属于、子集与相等、集合的四种运算、数轴上的区间——作为后面讨论映射与函数的记号准备。

其中证明集合相等只能靠双向包含、补集必须相对于全集才有意义这两点，是后面反复要用的；其余超出高中范围的内容（幂集、卡氏积、De Morgan 律的证明、邻域）按全站约定加了超纲标记，第一遍可以跳过。

前置知识

1.1 节导读：本节的阅读顺序
高中数学的实数与不等式：实数的大小比较、一元二次不等式的解集

超纲（可跳过）

集合论本身是一门独立的学科，本课程不展开；本书对集合的讲述也刻意保持浅显，只到高中所学的程度。本页因此只列出高中已经熟悉的集合知识——元素与属于、子集与相等、集合的运算、区间——作为后面讨论映射与函数的准备。

像幂集、卡氏积、De Morgan 律的证明、邻域这些超出高中范围的内容，是为后面引用方便才补上的记号与结论，第一遍可以跳过。

集合与元素¶

定义（集合）

集合是一些确定的、彼此可以区分的对象的全体；这些对象称为该集合的元素。若 \(x\) 是集合 \(A\) 的元素，记作

\[ x \in A, \]

读作"\(x\) 属于 \(A\)"；否则记作 \(x \notin A\)，读作"\(x\) 不属于 \(A\)"。

上面是描述性定义：它没有说清"全体"究竟指什么，只说清了怎么使用这两个记号。不加限制地使用"任给一个性质 \(P\)，所有满足 \(P\) 的对象构成一个集合"（概括原则）会导致矛盾（Russell 悖论：取 \(P\) 为"\(x \notin x\)"）。本课程只讨论数集——实数集的子集，或由数集通过卡氏积、映射构造出来的集合——不会遇到这类困难，因此可以放心使用描述性定义。

实数系中的几个常用数集：

记号	含义
\(\mathbb{N}\)	自然数集 \(\{0, 1, 2, \dots\}\)（本笔记约定 \(0\) 是自然数）
\(\mathbb{N}^{*}\)	正整数集 \(\{1, 2, 3, \dots\}\)
\(\mathbb{Z}\)	整数集
\(\mathbb{Q}\)	有理数集
\(\mathbb{R}\)	实数集
\(\varnothing\)	空集，即不含任何元素的集合

集合的直观说法很朴素：集合就是"某一类东西的全体"；而表里的 \(\mathbb{R}\) 来自英文 real number（实数），记号取的是这个词的首字母。

集合有两种常用写法：

列举法：把元素一一写出，如 \(A = \{1, 2, 3\}\)；
描述法：写出元素满足的性质，如 \(A = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2 \,\}\)。

集合的三条约定

元素互异：\(\{1, 1, 2\}\) 与 \(\{1, 2\}\) 是同一个集合，重复写出不改变集合；描述法写成 \(\{\, x \mid P(x) \,\}\) 时，重复的对象自动只算一次。
元素无序：\(\{1, 2\} = \{2, 1\}\)。需要"顺序"时不能用集合，而要用有序对。
符号要对得上：\(\in\) 的两边分别是"元素"与"集合"；\(\subseteq\) 的两边都是集合。写 \(\{1\} \in \{1, 2\}\) 是错的（应写 \(\{1\} \subseteq \{1,2\}\) 或 \(1 \in \{1,2\}\)）。

子集与相等¶

定义（子集、真子集）

设 \(A, B\) 是集合。若 \(A\) 的每个元素都是 \(B\) 的元素，即

\[ \forall x,\quad x \in A \implies x \in B, \]

则称 \(A\) 是 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\)（或 \(B \supseteq A\)），读作"\(A\) 包含于 \(B\)"。

若 \(A \subseteq B\) 且 \(A \ne B\)，则称 \(A\) 是 \(B\) 的真子集，记作 \(A \subsetneq B\)。

定义（集合相等）

两个集合相等，当且仅当它们互相包含：

\[ A = B \iff A \subseteq B \text{ 且 } B \subseteq A. \]

证明集合相等的标准写法

由上面的定义，证明 \(A = B\) 没有别的捷径，只能双向包含：

任取 \(x \in A\)，由定义与已知条件推出 \(x \in B\)，从而 \(A \subseteq B\)；
任取 \(x \in B\)，同法推出 \(x \in A\)，从而 \(B \subseteq A\)。

后面证明数集相等、映射的像与原像的等式、乃至子空间相等，用的都是这同一个套路。

关于空集有两条要记住的性质：

空集是任何集合的子集：\(\varnothing \subseteq A\)。因为"对每个 \(x \in \varnothing\) 都有 \(x \in A\)"是一个关于空集的语句，它没有反例，故成立（逻辑上称"空真"）。
空集是唯一的：若 \(\varnothing_1, \varnothing_2\) 都是空集，则由上一条 \(\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2\) 且 \(\varnothing_2 \subseteq \varnothing_1\)，故 \(\varnothing_1 = \varnothing_2\)。

易错点：\(\varnothing\) 与 \(\{\varnothing\}\) 不是一回事

\(\varnothing\) 不含任何元素；
\(\{\varnothing\}\) 含有一个元素，即 \(\varnothing\)。

所以 \(\varnothing \in \{\varnothing\}\) 成立，而 \(\varnothing \subsetneq \{\varnothing\}\) 也成立：这是"属于"与"包含"作用在不同层次的对象上的典型例子。

幂集¶

定义（幂集）

设 \(X\) 是集合。\(X\) 的幂集是 \(X\) 的一切子集组成的集合，记作 \(\mathcal{P}(X)\)：

\[ \mathcal{P}(X) = \{\, A \mid A \subseteq X \,\}. \]

例题 1（幂集的计算）

设 \(X = \{1, 2\}\)。写出 \(\mathcal{P}(X)\)，并说明 \(\#\mathcal{P}(X) = 2^{\#X}\) 对有限集成立的理由。

解 \(X\) 的子集按元素个数分类：

\(0\) 个元素：\(\varnothing\)；
\(1\) 个元素：\(\{1\},\ \{2\}\)；
\(2\) 个元素：\(\{1, 2\}\)。

故

\[ \mathcal{P}(X) = \{\, \varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1, 2\} \,\}, \qquad \#\mathcal{P}(X) = 4 = 2^2 . \]

理由：\(X\) 的每个子集由"每个元素是否被选入"唯一决定。\(\#X = n\) 时共有 \(n\) 个"选或不选"的独立决定，每种决定给出一个子集，故子集共 \(2^n\) 个。

集合的运算¶

定义（并、交、差、补）

设 \(A, B\) 是集合。

并集：

\[ A \cup B = \{\, x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B \,\}; \]
交集：

\[ A \cap B = \{\, x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B \,\}; \]
差集：

\[ A \setminus B = \{\, x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B \,\}; \]
补集：若事先给定一个包含 \(A\) 与 \(B\) 的全集 \(U\)，则称

\[ \complement_U A = U \setminus A = \{\, x \in U \mid x \notin A \,\} \]

为 \(A\) 在 \(U\) 中的补集。

第 4 条中的全集不能省：只说"\(A\) 的补集"而没有说明相对于哪个全集，这个集合就没有确定的内容。本课程中全集通常是 \(\mathbb{R}\)，此时把 \(\mathbb{R} \setminus A\) 简记为 \(A^{c}\)。

集合运算满足下列恒等式（\(A, B, C\) 是任意集合）：

名称	恒等式
交换律	\(A \cup B = B \cup A\)，\(A \cap B = B \cap A\)
结合律	\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)，\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
分配律	\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)，\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
幂等律	\(A \cup A = A\)，\(A \cap A = A\)
吸收律	\(A \cup (A \cap B) = A\)，\(A \cap (A \cup B) = A\)
与空集	\(A \cup \varnothing = A\)，\(A \cap \varnothing = \varnothing\)
De Morgan 律	\(\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B\)，\(\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B\)

这些恒等式都可以用"双向包含"验证。下面把 De Morgan 律的证明完整写一遍，作为元素分析法的示范。

命题（De Morgan 律）

设 \(U\) 是全集，\(A, B \subseteq U\)，则

\[ \complement_U (A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B, \]

\[ \complement_U (A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B. \]

证明

第一式。 分两个方向。

设 \(x \in \complement_U(A \cup B)\)。由补集定义，\(x \in U\) 且 \(x \notin A \cup B\)。而"\(x \notin A \cup B\)"意味着 \(x\) 既不属于 \(A\) 也不属于 \(B\)（否则由并集定义它属于 \(A \cup B\)），即 \(x \in \complement_U A\) 且 \(x \in \complement_U B\)，也就是 \(x \in \complement_U A \cap \complement_U B\)。故 \(\complement_U(A \cup B) \subseteq \complement_U A \cap \complement_U B\)。
设 \(x \in \complement_U A \cap \complement_U B\)。则 \(x \in U\)，且 \(x \notin A\)、\(x \notin B\)。若 \(x \in A \cup B\)，则 \(x \in A\) 或 \(x \in B\)，两者都不可能，故 \(x \notin A \cup B\)，即 \(x \in \complement_U(A \cup B)\)。故 \(\complement_U A \cap \complement_U B \subseteq \complement_U(A \cup B)\)。

两者合起来即得第一式。

第二式。 把第一式中的 \(A, B\) 换成 \(\complement_U A, \complement_U B\)，并利用 \(\complement_U(\complement_U A) = A\)：

\[ \complement_U\bigl(\complement_U A \cup \complement_U B\bigr) = A \cap B . \]

两边再取补集，得

\[ \complement_U A \cup \complement_U B = \complement_U(A \cap B), \]

这正是第二式。

例题 2（差集的恒等式）

证明

\[ A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C). \]

解用元素分析法，把"\(\setminus\)"与"\(\cup\)"按定义展开。

设 \(x \in A \setminus (B \cup C)\)。则 \(x \in A\) 且 \(x \notin B \cup C\)，后者等价于 \(x \notin B\) 且 \(x \notin C\)。于是 \(x \in A \setminus B\) 且 \(x \in A \setminus C\)，即 \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\)。
反之设 \(x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\)。则 \(x \in A\)、\(x \notin B\)、\(x \notin C\)，故 \(x \notin B \cup C\)，从而 \(x \in A \setminus (B \cup C)\)。

两个方向都成立，故等式成立。这正是 De Morgan 律在"相对于 \(A\) 取补"时的形式。

区间与邻域¶

数学分析里的集合绝大多数是一段一段的实数，为此引入区间记号。设 \(a, b \in \mathbb{R}\) 且 \(a < b\)：

记号	含义（作为集合）
\((a, b)\)	\(\{\, x \mid a < x < b \,\}\)，开区间
\([a, b]\)	\(\{\, x \mid a \le x \le b \,\}\)，闭区间
\([a, b)\)、\((a, b]\)	半开半闭区间，如 \([a,b) = \{\, x \mid a \le x < b \,\}\)
\((a, +\infty)\)	\(\{\, x \mid x > a \,\}\)
\([a, +\infty)\)	\(\{\, x \mid x \ge a \,\}\)
\((-\infty, b)\)、\((-\infty, b]\)	左端无界的区间
\((-\infty, +\infty)\)	就是 \(\mathbb{R}\)

记号中的 \(+\infty\) 与 \(-\infty\) 不是实数，只是为了书写方便的符号；因此凡涉及 \(+\infty\) 的一端一律写圆括号，写成 \([-\infty, b]\) 没有意义。

定义（邻域、去心邻域）

设 \(a \in \mathbb{R}\)，\(\delta > 0\)。称开区间

\[ U(a, \delta) = (a - \delta,\ a + \delta) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid \lvert x - a \rvert < \delta \,\} \]

为点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域，\(\delta\) 称为该邻域的半径，\(a\) 称为它的中心。去掉中心后得到的集合

\[ \mathring{U}(a, \delta) = U(a, \delta) \setminus \{a\} = \{\, x \in \mathbb{R} \mid 0 < \lvert x - a \rvert < \delta \,\} \]

称为点 \(a\) 的去心 \(\delta\) 邻域。

邻域说的就是"\(a\) 附近的一小段"，其大小由半径 \(\delta\) 控制。"\(\lvert x - a \rvert < \delta\)"与"\(a - \delta < x < a + \delta\)"是同一件事的两种写法，后者更直观，前者便于计算。后面的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言、极限的局部性质都建立在这个记号上。

易错点：邻域是以点为中心的开区间

\(U(a, \delta)\) 不含端点 \(a \pm \delta\)；若式子中出现 \(\lvert x - a \rvert \le \delta\)，那是闭邻域 \([a - \delta, a + \delta]\)，与邻域不是同一个集合。另外 \(\delta\) 必须严格大于 \(0\)：\(\delta = 0\) 时邻域退化为空集。

卡氏积¶

定义（卡氏积）

设 \(X, Y\) 是集合。它们的卡氏积（Cartesian product，也译作笛卡尔积）定义为一切有序对组成的集合

\[ X \times Y = \{\, (x, y) \mid x \in X,\ y \in Y \,\}. \]

一般地，\(n\) 个集合的卡氏积是 \(n\) 元有序组的集合

\[ X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n = \{\, (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in X_i,\ i = 1, 2, \dots, n \,\}. \]

若 \(X_1 = X_2 = \cdots = X_n = X\)，则简记为

\[ X^n = \{\, (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in X \,\}. \]

有序对的"有序"体现在 \((x, y) = (x', y')\) 当且仅当 \(x = x'\) 且 \(y = y'\)：交换位置一般得到不同的元素。这正是它与无序对 \(\{x, y\}\) 的本质区别。

两个最常用的例子：

\(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) 是平面上的点集，\(\mathbb{R}^n\) 是 \(n\) 元有序实数组的全体；
函数（映射）的图像就是卡氏积的子集：\(\Gamma_f = \{\, (x, f(x)) \mid x \in X \,\} \subseteq X \times \mathbb{R}\)，这一用法见 1.3 函数与反三角函数。

卡氏积的完整讨论（包括它与二元关系、等价类的关系）见高等代数 · 集合与卡氏积。

常见误区¶

易错点

\(\in\) 与 \(\subseteq\) 混用。 \(1 \in \{1\}\)、\(\{1\} \subseteq \{1\}\) 都对，但 \(1 \subseteq \{1\}\)、\(\{1\} \in \{1\}\) 都不对。判断的依据是看符号两边是"元素与集合"还是"集合与集合"。
\(\varnothing\) 与 \(\{\varnothing\}\) 混为一谈。 前者没有元素，后者有一个元素；因此 \(\#\varnothing = 0\) 而 \(\#\{\varnothing\} = 1\)。
用"看起来像"代替证明。 集合恒等式不能靠画图或举例说明，必须用双向包含（或元素分析法）证明。
忘记补集所相对的全集。 \(\complement A\) 只有在全集 \(U\) 明确后才是一个确定的集合；在 \(\mathbb{R}\) 中通常约定 \(A^{c} = \mathbb{R} \setminus A\)。
把 \(+\infty\) 当数用。 \((-\infty, b)\) 只是一种记号；不能对 \(+\infty\) 作加减乘除，也不能写 \([-\infty, b]\)。
认为"包含"必须严格。 \(\subseteq\) 允许相等；若要排除相等，必须写成 \(\subsetneq\)。

参见¶

1.1 节导读：本节的阅读顺序与学习目标
1.2 映射：用集合语言定义映射，并引入像与原像
高等代数 · 集合与卡氏积：有序组与卡氏积的完整讨论
高等代数 · 关系与等价类：卡氏积的子集就是二元关系
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