映射的定义与分类

本页面介绍映射：定义与记号、像集与原像集、单射 / 满射 / 双射的定义与判别，以及把定义域"限制"到子集上的操作。这些内容合起来构成后面讨论反函数、可逆变换的语言基础。

前置知识

• 1.1 集合：属于与包含、子集、并交差、区间
• 1.1 集合 · 卡氏积：有序对与 \(X \times Y\) 的记号

引入：为什么要把"对应"写成定义

中学里函数被说成"一个 \(x\) 对应一个 \(y\)"。这句话作为直观理解没有问题，但它没法回答下面这些必须回答的问题：

• 对应法则必须对每一个 \(x\) 都有定义吗？能不能有一些 \(x\) 没有对应的 \(y\)？
• 一个 \(x\) 能对应两个 \(y\) 吗？
• 两个不同的 \(x\) 能对应同一个 \(y\) 吗？
• 讨论"能否反解出 \(x\)"时，究竟要满足什么条件？

要回答它们，必须把"对应"写成一个有量词、可逐条核对的数学定义，这就是映射。

映射的定义

定义（映射）

设 \(X, Y\) 是两个非空集合。若给定一个对应法则 \(f\)，使得对每个 \(x \in X\)，都存在唯一的 \(y \in Y\) 与之对应，则称 \(f\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作

\[ f: X \to Y, \qquad y = f(x), \]

并称 \(y\) 是 \(x\) 在 \(f\) 下的像，\(x\) 是 \(y\) 的原像。

用逻辑符号写出这条定义：

\[ \forall x \in X,\ \exists!\, y \in Y,\quad y = f(x). \]

只写出对应法则，不算给出了映射

这里要反复强调：写映射要写"一整套"，不能只写一个法则。 例如"\(f(x) = x^2\)"本身并不定义映射：它可以是 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 的映射，可以是 \(\mathbb{R} \to [0, +\infty)\) 的映射，也可以是 \([0, 1] \to [0, 1]\) 的映射——这是三个不同的映射。完整的写法必须同时给出定义域 \(X\)、陪域 \(Y\) 与对应法则 \(f\)：

\[ f: X \to Y, \qquad x \mapsto f(x). \]

在映射 \(f: X \to Y\) 中：

名称	记号	含义
定义域	\(X\)（记 \(\operatorname{dom} f\)）	出发的集合；其中每个元素都必须有像
陪域	\(Y\)	到达的集合；其中元素可以不成为任何元素的像
值域 / 像	\(f(X)\)，也记 \(\operatorname{Im} f\)、\(\operatorname{Ran} f\) 或 \(\operatorname{RK}(f)\)	\(f(X) = \{\, f(x) \mid x \in X \,\} \subseteq Y\)

表里的三个词在英文教材里分别叫 domain、codomain、image：值域也叫"像"，所以常记作 \(\operatorname{Im} f\)。

定义中的三个词要逐字落实：

1. "\(\forall x \in X\)"——处处有定义。 不允许有"这个点没定义"的情形。例如把"\(f(x) = 1/x\)"直接写成 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是错的：在 \(x = 0\) 处无像。要让它成为映射，就得把定义域改成 \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)，或另行规定 \(f(0)\) 的取值。
2. "\(\exists\)"——像存在。 每个 \(x\) 都要在 \(Y\) 中找到像。
3. "唯一"——像唯一。 一个 \(x\) 不能对应两个不同的 \(y\)。这排斥了"一对多"，但不排斥"多对一"：几个不同的 \(x\) 完全可以对应同一个 \(y\)。

因此"多对一"是允许的，"一对多"是不允许的，"有没有漏掉定义域中的点"也直接违反定义。

关于映射的相等，还有一条容易忽视的约定：

定义（映射相等）

设 \(f: X_1 \to Y_1\)，\(g: X_2 \to Y_2\)。称 \(f = g\)，当且仅当

\[ X_1 = X_2, \quad Y_1 = Y_2, \quad \text{且对一切 } x \in X_1 \text{ 有 } f(x) = g(x). \]

也就是说，映射由定义域、陪域、对应法则三者共同确定，三者缺一不可。

一个比喻：名与字

可以用"名"与"字"来打比方：对应法则只是映射的名，而 \(X\)、\(Y\)、\(f\) 这一整套才是它的字。中国人讲名与字是配套的，有名无字不成完整的称呼；映射也一样，光有一个法则（名）不足以确定一个映射，必须三要素齐全（名与字都对上）。这正是"映射相等"要求 \(X_1 = X_2\)、\(Y_1 = Y_2\) 且逐点取值相同的直观理由。

陪域不是多余的：它决定满射性

对应法则 \(x \mapsto x^2\) 可以看成 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 的映射，也可以看成 \(\mathbb{R} \to [0, +\infty)\) 的映射。两者是不同的映射（陪域不同），而且性质不同：后者是满射，前者不是。所以"某个映射是不是满射"这句话，必须连同陪域一起说才有意义。

几个基本例子

• 恒等映射 \(id_X: X \to X\)，\(id_X(x) = x\)；
• 常值映射 \(f: X \to Y\)，\(f(x) = c\)（\(c \in Y\) 固定），它不是单射（除非 \(\#X = 1\)）；
• 包含映射 \(i: A \hookrightarrow X\)，\(i(x) = x\)，其中 \(A \subseteq X\)：它与 \(id_X\) 的差别在于定义域更小；
• \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = x^3\)；
• \(\exp: \mathbb{R} \to (0, +\infty)\)，\(\exp(x) = e^x\)（后面会看到它是双射）；
• \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = \sin x\)。

像集与原像集

超纲（可跳过）

本课只讲"每个 \(x\) 有唯一的像"，没有把元素换成集合。下面这套"像集 \(f(A)\) 与原像集 \(f^{-1}(B)\)"（以及 \(f^{-1}(B)\) 与逆映射的区别）是为后文补齐的记号，第一遍可以跳过，用到时再回来。

映射作用在元素上给出像；把元素换成集合，就得到像集与原像集。

定义（像集、原像集）

设 \(f: X \to Y\)，\(A \subseteq X\)，\(B \subseteq Y\)。

• \(A\) 在 \(f\) 下的像集是

  \[ f(A) = \{\, f(x) \mid x \in A \,\} \subseteq Y; \]

• \(B\) 在 \(f\) 下的原像集（或完全原像）是

  \[ f^{-1}(B) = \{\, x \in X \mid f(x) \in B \,\} \subseteq X . \]

易错点：\(f^{-1}(B)\) 不要求 \(f\) 可逆

记号 \(f^{-1}(B)\) 读作"\(B\) 的原像"，它是由 \(B\) 算出 \(X\) 的一个子集的操作，对任何映射 \(f\) 都有意义，即使 \(f\) 不是单射、不可逆。不要把它与逆映射 \(f^{-1}\)（它要求 \(f\) 是双射，见复合映射与逆映射）混为一谈。两者的联系是：当 \(f\) 可逆时，\(f^{-1}(\{y\}) = \{f^{-1}(y)\}\) 是单点集。

例如取 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = x^2\)。则

\[ f([-1, 2]) = [0, 4], \qquad f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2], \qquad f^{-1}(\{-1\}) = \varnothing . \]

第一个式子说明像集可能比原集合"短"（\(f\) 把 \([-1,2]\) 压成了 \([0,4]\)），第二个式子说明原像集可能由几段拼成，第三个式子说明原像集可以是空集。

命题（像与原像的基本性质）

设 \(f: X \to Y\)，\(A, A_1, A_2 \subseteq X\)，\(B, B_1, B_2 \subseteq Y\)。则

1. \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\)；
2. \(f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\)（一般不能取等号，见下）；
3. \(f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)\)；
4. \(f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\)；
5. \(f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)\)。

证明

第 1 条。 分两个方向。

• 设 \(y \in f(A_1 \cup A_2)\)，则存在 \(x \in A_1 \cup A_2\) 使 \(y = f(x)\)。若 \(x \in A_1\)，则 \(y \in f(A_1)\)；若 \(x \in A_2\)，则 \(y \in f(A_2)\)。两种情形都有 \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\)。
• 反之设 \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\)。若 \(y \in f(A_1)\)，则存在 \(x \in A_1 \subseteq A_1 \cup A_2\) 使 \(y = f(x)\)，故 \(y \in f(A_1 \cup A_2)\)；\(y \in f(A_2)\) 时同理。

故 \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\)。

第 2 条。 设 \(y \in f(A_1 \cap A_2)\)，则存在 \(x \in A_1 \cap A_2\) 使 \(y = f(x)\)。由 \(x \in A_1\) 得 \(y \in f(A_1)\)，由 \(x \in A_2\) 得 \(y \in f(A_2)\)，故 \(y \in f(A_1) \cap f(A_2)\)。这就证明了包含关系。

第 5 条。 对任意 \(x \in X\)，

\[ x \in f^{-1}(Y \setminus B) \iff f(x) \in Y \setminus B \iff f(x) \notin B \iff x \notin f^{-1}(B) \iff x \in X \setminus f^{-1}(B), \]

故两边相等。

第 3、4 条与第 5 条做法相同：把 \(f^{-1}(B)\) 的定义代入，逐条翻译成关于 \(f(x)\) 的语句即可。

第 2 条中的包含关系一般不能反向。取 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = x^2\)，\(A_1 = [-1, 0]\)，\(A_2 = [0, 1]\)，则

\[ f(A_1) = f(A_2) = [0, 1], \qquad f(A_1) \cap f(A_2) = [0, 1], \]

而 \(A_1 \cap A_2 = \{0\}\)，于是

\[ f(A_1 \cap A_2) = \{0\} \subsetneq [0, 1] = f(A_1) \cap f(A_2). \]

原因很清楚：\(1 \in f(A_1) \cap f(A_2)\) 的两条"来源"是不同的元素（\(-1 \in A_1\) 与 \(1 \in A_2\)），它们不在同一个 \(A_i\) 里同时出现。若要保证第 2 条能取等号，就需要"同一个像只有同一个原像"，也就是单射——这正是下一个话题。

单射、满射、双射

定义（满射、单射、双射）

设 \(f: X \to Y\)。

1. 满射（surjection）：若 \(f(X) = Y\)，即

   \[ \forall y \in Y,\ \exists x \in X,\quad f(x) = y, \]

   则称 \(f\) 是满射（或"到上的"；英文除 surjective 外也说 on-to）。

2. 单射（injection）：若对任意 \(x_1, x_2 \in X\)，

   \[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2, \]

   则称 \(f\) 是单射（或"一对一的"）。

3. 双射（bijection）：若 \(f\) 既是单射又是满射，则称 \(f\) 是双射，也叫一一映射。

换个说法：把原像看作方程的解

同一句话可以有不同的写法。把"\(x\) 是 \(y\) 的原像"改说成"\(x\) 是方程 \(f(x) = y\) 的解"，三种射就有了统一的说法——对每个 \(y \in Y\)，看方程 \(f(x) = y\) 在 \(X\) 中有几个解：

\(f\) 的类型	方程 \(f(x) = y\) 对每个 \(y \in Y\) 的解的个数
\(f\) 是单射	至多一个（不同的 \(x\) 给出不同的像）
\(f\) 是满射	至少一个（每个 \(y\) 都被取到）
\(f\) 是双射	恰好一个

于是"\(f\) 是双射"就等价于"对每个 \(y \in Y\)，方程 \(f(x) = y\) 总有唯一解"。这正是后面把逆映射写成

\[ f^{-1}(y) = x \iff y = f(x) \]

的依据：解存在（满射）保证 \(f^{-1}(y)\) 有定义，解唯一（单射）保证它是一个确定的值，不会出现"反解出两个 \(x\)"的歧义。

单射的等价说法

单射的定义是"像相同则原像相同"，它的逆否命题是"原像不同则像不同"，即

\[ x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2). \]

两种说法完全等价，证明时按方便选用：证单射时常用前者（设 \(f(x_1) = f(x_2)\) 推出 \(x_1 = x_2\)），举反例时常用后者。

三类映射的直观对照：

类型	直观说法	等价条件	被排除的情形
满射	陪域中每个点都被"打到"	\(f(X) = Y\)	陪域中有元素没有原像
单射	不同的点被打到不同的点	\(x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\)	有两个点共用一个像
双射	既无遗漏又无重复	上述两条同时成立	上面两种情形都不能出现

邮局比喻

把 \(f\) 想成"投递"：很多人可以把信寄到同一个地址——多对一是允许的，所以一般情形下 \(f\) 不是单射；但一封信不能同时寄到两个地址——一对多不允许，这正是映射定义中"像唯一"那一条。

图 1：单射、满射、双射的对比。箭尾在 $X$、箭头在 $Y$，每个 $x$ 恰好引出一条箭头。单射：$X$ 的点比 $Y$ 少，$Y$ 中没有点被两条箭头同时指向（每个元素至多一个原像），但 $Y$ 里有元素没有原像（图中留一个空心点），故不是满射。满射：$X$ 的点比 $Y$ 多，$Y$ 中每个点都至少被一条箭头指向（图中没有空心点），但有元素被两条箭头同时指向，故不是单射。双射：$X$ 与 $Y$ 一一配对，$Y$ 中每个点恰好有一个原像。

超纲（可跳过）

有限集的计数不在本课要求内：比较 \(\#X\) 与 \(\#Y\) 的大小、以及"\(\#X = \#Y\) 时单射、满射、双射互相等价"，都是为后面的可数集与双射判定准备的教材内容（包括紧随其后的无限集反例说明），第一遍可以跳过。

命题（有限集上的计数约束）

设 \(X, Y\) 是有限集，\(f: X \to Y\)。

1. 若 \(f\) 是单射，则 \(\#X \le \#Y\)；
2. 若 \(f\) 是满射，则 \(\#X \ge \#Y\)；
3. 若 \(f\) 是双射，则 \(\#X = \#Y\)。

特别地，当 \(\#X = \#Y\) 时，\(f\) 是单射、是满射、是双射这三件事互相等价。

证明

第 1 条。 单射意味着 \(X\) 中不同的元素对应 \(Y\) 中不同的元素，故 \(f\) 在 \(X\) 与它的像集 \(f(X)\) 之间建立了一一对应，于是 \(\#f(X) = \#X\)。又 \(f(X) \subseteq Y\)，故 \(\#f(X) \le \#Y\)，即 \(\#X \le \#Y\)。

第 2 条。 满射意味着 \(f(X) = Y\)，故 \(\#f(X) = \#Y\)。另一方面，对每个 \(y \in f(X)\) 取定一个原像 \(x_y \in X\)（存在性由 \(y \in f(X)\) 保证）；不同的 \(y\) 所对应的 \(x_y\) 必定互不相同，因为一个 \(x\) 在 \(f\) 下只有一个像。于是

\[ f(X) \to X, \qquad y \mapsto x_y \]

是单射，由第 1 条得 \(\#f(X) \le \#X\)。结合 \(\#f(X) = \#Y\) 即得 \(\#Y \le \#X\)。

第 3 条。 由第 1、2 条得 \(\#X \le \#Y \le \#X\)，故 \(\#X = \#Y\)。

最后一段。 设 \(\#X = \#Y = n\)。

• 若 \(f\) 是单射，则由第 1 条 \(\#f(X) = \#X = n = \#Y\)。又 \(f(X) \subseteq Y\) 且两者元素个数相同，故 \(f(X) = Y\)，即 \(f\) 是满射，从而是双射。
• 若 \(f\) 是满射，则由第 2 条同样的推理得 \(f\) 是单射，从而是双射。

于是三者等价。

最后一句只在有限集上成立

对无限集，单射不必是满射。例如

\[ f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}, \qquad f(n) = 2n \]

是单射（\(2n_1 = 2n_2 \Rightarrow n_1 = n_2\)），但不是满射（奇数没有原像）。这说明"元素个数相同"在无限集上不能用计数来判定，后面的可数集理论要专门处理这件事。

限制与延拓

超纲（可跳过）

"把定义域缩小，不可逆的映射就可能变成可逆的"这个想法是本课要用的（反三角函数就是这么来的），但"限制 \(f|_A\)"的记号与"延拓"的概念不在本课要求内。下面的严格定义属于教材内容，第一遍可以跳过。

定义（限制、延拓）

设 \(f: X \to Y\)，\(A \subseteq X\)。定义

\[ f|_A: A \to Y, \qquad f|_A(x) = f(x) \quad (x \in A), \]

称 \(f|_A\) 是 \(f\) 在 \(A\) 上的限制。反过来，若 \(g: X \to Y\) 且 \(g|_A = f\)，则称 \(g\) 是 \(f\) 从 \(A\) 到 \(X\) 的延拓。

限制的操作看似平淡，却是把不可逆的映射变可逆的常用手段：同一个对应法则，定义域取得小一些，就有可能变成单射。

例如 \(\sin: \mathbb{R} \to [-1, 1]\) 不是单射（\(\sin 0 = \sin 2\pi = 0\)），但把它限制到 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上就是单射，而且从 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 到 \([-1, 1]\) 还是满射，于是成为双射——它的逆映射就是反正弦函数 \(\arcsin\)。详见 1.3 函数与反三角函数。

下面的两个例题超出本课要求，是为熟悉定义补的；第一遍可以跳过，做题卡住时再回来对照。

例题 1（判断映射的类型）

设 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = x^2 - 2x\)。判断 \(f\) 是否为单射、满射，并说明把定义域与陪域改成什么集合后它能成为双射。

解 配方：

\[ f(x) = (x - 1)^2 - 1 \ge -1 . \]

不是满射。 值域 \(f(\mathbb{R}) = [-1, +\infty) \subsetneq \mathbb{R}\)：例如 \(-2\) 就没有原像，因为 \(f(x) \ge -1 > -2\)。

不是单射。 当 \(x - 1 = \pm t\) 时函数值相同，即 \(f(1 + t) = f(1 - t)\)。例如 \(f(0) = 0 = f(2)\)，但 \(0 \ne 2\)。

如何变成双射。 把定义域限制为 \([1, +\infty)\)，陪域取为值域 \([-1, +\infty)\)。此时 \(f\) 在 \([1, +\infty)\) 上严格递增：对 \(1 \le x_1 < x_2\)，

\[ f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2) > 0, \]

故 \(f\) 是单射。又 \(f\) 连续且 \(f(1) = -1\)、\(f(x) \to +\infty\)（这一点要到连续一章才能严格写出），值域恰为 \([-1, +\infty)\)，故是满射。于是

\[ f: [1, +\infty) \to [-1, +\infty), \qquad f(x) = x^2 - 2x \]

是双射。由 \(y = (x-1)^2 - 1\)、\(x \ge 1\) 解得 \(x - 1 = \sqrt{y + 1}\)，即逆映射为

\[ f^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y + 1}, \qquad y \in [-1, +\infty). \]

例题 2（单射的一个等价刻画）

设 \(f: X \to Y\)。证明：\(f\) 是单射，当且仅当对任意 \(A, B \subseteq X\) 都有

\[ f(A \cap B) = f(A) \cap f(B). \]

解 由前面的命题，\(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\) 对任何映射都成立，所以只需证反向包含与单射的等价。

（必要性） 设 \(f\) 是单射，且 \(y \in f(A) \cap f(B)\)。由 \(y \in f(A)\)，存在 \(a \in A\) 使 \(f(a) = y\)；由 \(y \in f(B)\)，存在 \(b \in B\) 使 \(f(b) = y\)。于是 \(f(a) = f(b)\)，由单射得 \(a = b\)。这个元素既在 \(A\) 中又在 \(B\) 中，即 \(a \in A \cap B\)，从而

\[ y = f(a) \in f(A \cap B). \]

故 \(f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\)，两边相等。

（充分性） 设对任意 \(A, B \subseteq X\) 都有 \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\)。任取 \(x_1, x_2 \in X\) 使 \(f(x_1) = f(x_2) = y\)。取

\[ A = \{x_1\}, \qquad B = \{x_2\}. \]

则 \(y \in f(A) \cap f(B) = f(A \cap B)\)，故 \(A \cap B \ne \varnothing\)，即 \(x_1 = x_2\)。因此 \(f\) 是单射。

这就证明了等价性。这个例题把"单射"这个关于元素的说法翻译成了关于子集的等式，是"等价刻画"的一个典型。

常见误区

易错点

• 映射必须处处有定义。 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 写成 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是错的；应改定义域为 \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)。\(\tan x\)、\(\frac{1}{x-1}\) 之类的例子同理。
• 一个 \(x\) 不能对应两个 \(y\)。 "一对多"不是映射（例如把"\(y^2 = x\)"当成从 \(x\) 到 \(y\) 的对应就不行）。
• 值域不等于陪域。 一般只有 \(f(X) \subseteq Y\)；两者相等才是满射。
• 判断满射必须针对陪域。 说"\(x^2\) 是满射"是含糊的：作为 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 不是，作为 \(\mathbb{R} \to [0, +\infty)\) 是。
• 不要把 \(f^{-1}(B)\) 与逆映射 \(f^{-1}\) 混用。 前者是集合到集合的操作，任何映射都有；后者要求 \(f\) 是双射。
• 术语要分清。 单射 \(=\) 一对一；满射 \(=\) 到上；双射 \(=\) 一一映射 \(=\) 一一对应。"一一对应"在不同教材中含义一致（即双射），可以放心使用。

参见

• 复合映射与逆映射：下一页，本节的另一半
• 习题：映射判型、像与原像、复合与可逆的练习
• 1.1 集合：像集与原像集所用的集合运算
• 1.3 函数与反函数：限制定义域得到反正弦函数
• 首页：全站记号约定