习题（1.4 均值不等式）¶
本页面收录《数学分析》第一章 集合与映射 · 1.4 均值不等式的配套练习。需要说明的是：本页练习是整理笔记时补充的自拟题，不是课本原题——课本 1.4 节没有对应习题，这里按均值不等式正文的考点自拟了 6 道，用来检验是否真的会"凑定值"与"验等号"。解答默认折叠，建议先自己写一遍，再展开对照。
6 道题都只用正文已证的结论，分别是 \(G_n \le A_n\)、\(H_n \le A_n\) 与 \(A_n \le Q_n\)；用到加权形式的题会特别注明。
前置知识
- 三种平均的定义与不等式链 \(H_n \le G_n \le A_n \le Q_n\)，见均值不等式
- \(n = 2\) 的等号条件：\(\dfrac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \iff a = b\)
- 一般 \(n\) 的等号条件：全部 \(a_i\) 相等，缺一不可
- 平方平均 \(Q_n = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i^2}\) 与 \(A_n \le Q_n\)
- 若干个正数的乘积为定值时，用 \(G \le A\) 求和的下界；和为定值时，用 \(G \le A\) 求积的上界
解题框架
求最值一律走三步，缺一步答案就是错的：
- 定值条件：先看清题目给的是"和是定值"还是"积是定值"（有的题需要自己配凑出定值）。要用的方向决定了需要哪个定值——求和的最小值要凑出乘积为定值，求积的最大值要凑出和为定值。
- 用不等式：写出 \(A_2 \ge G_2\)（或 \(H_n \le A_n\)、\(A_n \le Q_n\)），把目标式夹在下界（上界）与定值之间。若一次不等式不够，就连续用几次并串联起来。
- 验证等号：解出"各项相等"对应的取值，并确认它落在题给的定义域内。只有等号能取到，前面的下界（上界）才是真正的最值；取不到时只能说"给出了一个界"，还要另想办法（例如改用单调性）。
纯证明题（第 4、5 题）不需要第 3 步求值，但等号条件仍要写清楚——这是"完整解答"的一部分。
习题¶
练习 1 · 用 \(G \le A\) 估计阶乘¶
证明：对任意正整数 \(n\)，
解答
对 \(n\) 个正数
用 \(G_n \le A_n\)。它们的几何平均与算术平均分别是
（第二个等号用了等差数列求和公式 \(1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)。）由 \(G_n \le A_n\) 得
两端取 \(n\) 次方（\(x \mapsto x^n\) 在 \([0, +\infty)\) 上单调不减），即得
等号：\(G_n \le A_n\) 的等号条件要求 \(1 = 2 = \cdots = n\)，当 \(n \ge 2\) 时不成立，故 \(n \ge 2\) 时上面的不等号实际上是严格的。\(n = 1\) 时两端都等于 \(1\)，等号成立。
说明 这题的关键是"看到 \(1, 2, \dots, n\) 就想到算术平均是 \(\frac{n+1}{2}\)"。这个估计本身偏松：由 Stirling 公式 \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)，可知 \(\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\) 大约是 \(n!\) 的 \(\left(\frac{e}{2}\right)^n\) 倍，是指数级地松。但它只用到均值不等式，一行就能写出，作为第一次估计已经够用。
练习 2 · 高次因子的最大值¶
求 \(y = x^2(1 - 3x)\) 在 \(0 < x < \dfrac{1}{3}\) 上的最大值。
解答
在 \(0 < x < \dfrac{1}{3}\) 上，\(x > 0\)、\(1 - 3x > 0\)，各项都是正数。
第一步：造出乘积为定值的三项。 目标式里 \(x\) 是二次的、\((1 - 3x)\) 是一次的。为了用三项的 \(G_3 \le A_3\)，把它们写成三个因子之和为定值的形式。先把系数提出来：
（验证：\(\frac{4}{9} \cdot \frac{9x^2}{4} = x^2\)，系数正确。）于是问题化为估计 \(\left(\frac{3x}{2}\right)^2 (1 - 3x)\)。
第二步：对三个因子用 \(G_3 \le A_3\)。 三个因子为
它们的和是常数：
由 \(G_3 \le A_3\)，
两端取三次方：
乘上 \(\dfrac{4}{9}\)：
第三步：验证等号。 \(G_3 \le A_3\) 的等号条件是三个因子相等：
检查 \(x = \dfrac{2}{9}\) 确实落在定义域 \(0 < x < \dfrac{1}{3}\) 内（\(\dfrac{2}{9} \approx 0.222 < \dfrac{1}{3} \approx 0.333\)）。此时三个因子都等于
相等，故等号确实取到。代回原式核对：
与上界吻合。所以最大值为
在 \(x = \dfrac{2}{9}\) 处取到。
说明（用导数复核） 对 \(y = x^2 - 3x^3\) 求导，\(y' = 2x - 9x^2 = x(2 - 9x)\)，在 \(\left(0, \frac{1}{3}\right)\) 内唯一的驻点是 \(x = \frac{2}{9}\)；又 \(y'' = 2 - 18x\) 在 \(x = \frac{2}{9}\) 处等于 \(2 - 4 = -2 < 0\)，故是极大值点，也就是最大值点。导数法的答案与均值不等式法一致。
说明（另一种写法） 也可以不提系数、直接对 \(x, x, 1 - 3x\) 用 \(G_3 \le A_3\)：它们的和是 \(1 - x\)，不是定值，得到的是
右端仍含 \(x\)，还要再求一次这个关于 \(x\) 的函数的最大值，多绕一步。先把系数调到"和为定值"，是这类题的标准手法。
练习 3 · 用平方平均与 \(ab \le \frac{1}{4}\) 求最小值¶
设 \(a, b > 0\) 且 \(a + b = 1\)。求
的最小值。
解答
记
第一步：用 \(A_2 \le Q_2\) 把"平方和"化成"和的平方"。 对正数 \(X, Y\) 用 \(A_2 \le Q_2\)：
两端平方再乘 \(2\)：
第二步：估计 \(X + Y\) 的下界。 由 \(a + b = 1\)，
对 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\) 用 \(H_2 \le A_2\)：因为 \(a, b > 0\)，
两端取倒数并注意不等号反向：
（也可以先由 \(a + b = 1\) 与 \(G_2 \le A_2\) 得 \(\sqrt{ab} \le \dfrac{1}{2}\)，即 \(ab \le \dfrac{1}{4}\)，再算 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac{1}{ab} \ge 4\)。）于是
第三步：合并。 因为 \(X + Y > 0\)，
第四步：验证等号。 两处不等号都要取等号：
- \(A_2 \le Q_2\) 的等号条件是 \(X = Y\)，即 \(a + \dfrac{1}{a} = b + \dfrac{1}{b}\)；
- \(H_2 \le A_2\) 的等号条件是 \(a = b\)。
由 \(a + b = 1\) 与 \(a = b\) 得
（这时 \(X = Y\) 自动满足。）代回检验：\(X = Y = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\)，且
与下界吻合。所以最小值为
在 \(a = b = \dfrac{1}{2}\) 处取到。
说明 本题用了两个不同的平均不等式，各管一段：\(A \le Q\) 管"平方和"，\(H \le A\) 管"倒数和"。这种"两段串联"的写法在估计题里很常见，串联时要注意每一段都要能取到等号，最终的最值才成立；只要有一段严格，得到的就只是界而不是最值。
练习 4 · 三项连比的乘积¶
设 \(a, b, c > 0\)，证明
解答
三个加项都是正数，且它们的乘积是常数：
对这三个正数用 \(G_3 \le A_3\)：
即
等号：\(G_3 \le A_3\) 的等号条件是三个数全相等：
设公共值为 \(t > 0\)，则 \(a = tb\)、\(b = tc\)、\(c = ta\)。三式相乘得 \(abc = t^3 abc\)，由 \(abc > 0\) 得 \(t^3 = 1\)；正实数的立方为 \(1\) 只有 \(t = 1\) 一个解，故 \(t = 1\)，即 \(a = b = c\)。此时三项都等于 \(1\)，和恰为 \(3\)。所以等号成立当且仅当 \(a = b = c\)。
说明 本题的"定值"来自循环约分：每个字母在分子的三项中恰好出现一次，在分母的三项中也恰好出现一次，乘起来就约光了。看到"分子分母是同一组字母的排列"就该想到这个手法。变体：\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\)（\(n = 2\)，乘积为 \(1\)）；\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a} \ge 4\)（\(n = 4\)），证明完全相同。
练习 5 · 和与倒数和¶
证明：对任意 \(a_1, a_2, \dots, a_n > 0\)，
并说明等号成立的条件。
解答
对 \(n\) 个正数 \(a_1, \dots, a_n\) 用 \(H_n \le A_n\)。由定义
\(H_n \le A_n\) 就是
两端同乘正数 \(n \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}\)：
这就是要证的结论。
等号条件：\(H_n \le A_n\) 的等号条件（见正文第四步）是 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\)。此时设公共值为 \(c > 0\)，则两端分别为 \(n^2\) 与 \((nc)\left(\dfrac{n}{c}\right) = n^2\)，确实相等。所以等号成立当且仅当
说明（与 Cauchy 不等式的对照） 这个结论也常由 Cauchy–Schwarz 不等式得到：
两条路本质相同：\(H_n \le A_n\) 与 Cauchy 不等式互为推论。这里走 \(H_n \le A_n\)，是因为正文已经证过，不必引入新定理。
说明（\(n = 2\) 的特殊形态） 取 \(n = 2\) 就回到均值不等式的例题 5：
它正是本题的结论两端同除 \(\sum a_i\) 的结果（用的是 \(a_1 + a_2 = \sum a_i\)）——所以例题 5 与本题是同一个不等式的两种写法。
练习 6 · 和为定值的三项倒数和¶
设 \(a, b, c > 0\) 且 \(a + b + c = 1\)。证明
并说明 \(ab + bc + ca \le \dfrac{1}{3}\) 与它的联系。
解答
（1）证明 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\)。
这是练习 5 取 \(n = 3\) 的情形：对 \(a, b, c > 0\) 用 \(H_3 \le A_3\)，
两端取倒数（正数取倒数反向）：
等号：\(H_3 \le A_3\) 的等号条件是 \(a = b = c\)；结合 \(a + b + c = 1\) 得 \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)。此时三项都等于 \(3\)，和为 \(9\)。所以等号成立当且仅当 \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)。
（2）证明 \(ab + bc + ca \le \dfrac{1}{3}\)。
关键是两个恒等式加一条不等式。由
及 \(a + b + c = 1\) 得
另一方面，由正文的 \(A_3 \le Q_3\)（对三个正数 \(\dfrac{a + b + c}{3} \le \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}\)，两端平方并乘 \(3\) 即得；它也可由恒等式 \(\sum_{i<j}(a_i - a_j)^2 = 3\sum a_i^2 - \left(\sum a_i\right)^2 \ge 0\) 得到）得
代入上式：
移项得
等号条件是 \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)，与第 (1) 问的等号条件完全一致。
（3）两者的联系。
先看两者在形式上有多近。(1) 的左端可以通分：
也就是说：(1) 等价于
它给出的是 \(ab + bc + ca\) 的一个下界，但这个下界里还含着 \(abc\)；(2) 给出的是 \(ab + bc + ca\) 的一个上界，且只用到了 \(a + b + c = 1\)。
两者的方向相反，所以一个管不住另一个：由 (2) 得不到 (1)，由 (1) 也得不到 (2)。 后半句容易看错，理由是：(1) 只是"倒数和"的整体下界，它并不决定单个的 \(ab + bc + ca\) 能取多大。事实上 \(ab + bc + ca\) 可以在满足 (1) 的同时取到很小的值：例如 \(a = b = 0.02\)、\(c = 0.96\) 时（和仍为 \(1\)）
而
可见此时 \(ab + bc + ca\) 离上界 \(\frac{1}{3}\) 还差得很远。两式都是"\(a + b + c = 1\)、各项为正"这组条件下关于初等对称式的界，但控制的量不同。
再看等号点。(1) 与 (2) 的等号都在
处取到，这不是巧合：两条界（还包括 \(abc \le \dfrac{1}{27}\)，见下）都来自"某个平均不超过另一个平均"，而这些平均在且仅在 \(a = b = c\) 时重合，所以最优值点必须相同。注意"等号点相同"不等于"一个能推出另一个"——两者是同一组条件下平行的两条估计。
说明（顺带得到的界） 对 \(a, b, c > 0\) 用 \(G_3 \le A_3\)：
等号同样在 \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\) 处成立。把三组界放在一起：
最优值点全部是 \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)。这正是"三种平均在同一点重合"的直接体现，也是"求和的最小值"与"求积的最大值"可以共用同一个等号条件的原因。