2.1 实数的完备性¶
本节回答一个问题：实数比有理数多了什么？ 答案是完备性——非空有上界的实数子集一定有上确界。有理数系 \(\mathbb{Q}\) 满足一切熟悉的运算律，甚至是稠密的，但 \(\{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中没有上确界；实数系把这条缝补上了。
本笔记目前整理到"确界的定义与唯一性"以及"确界存在定理的陈述"为止：定理的证明留待下一节（它取决于实数的构造方式）。所以读本节时要注意区分"已证"与"承认待证"，正文里每一处都会标明。
前置知识
本节页面¶
| 页面 | 内容 | 定位 |
|---|---|---|
| 上界、下界与确界 | \(a \le b \iff \forall \varepsilon>0,\ a<b+\varepsilon\)、上界的定义、\(\sup\) 的定义与 \(\varepsilon\) 刻画、唯一性（页末另附下确界、运算性质等内容，均标为超纲） | 本节主线（本课要求部分已证） |
| 确界存在定理 | 定理陈述与"为什么需要实数"的动机（本课到此为止）；\(\mathbb{Q}\) 中的"空隙"、由定理推出的三条结论均标为超纲 | 本节主线（定理待证） |
| 习题 | 自拟练习题 6 道，解答默认折叠 | 检验是否真的掌握 |
阅读顺序¶
- 先读上界、下界与确界，把上确界的定义与唯一性吃透。 本课的主线只有一条：绝对值的预备 → \(a \le b \iff \forall \varepsilon>0,\ a<b+\varepsilon\) → 上界的定义 → 上确界＝最小上界 → 上确界唯一。这一页其余内容（下界与有界、下确界、确界与最值的关系、运算性质、例题）都带超纲标记，第一遍可以跳过。
- 再读确界存在定理的定理陈述。 本课讲到"上确界存在而且唯一"，动机是"为什么需要实数"；定理本身承认待证（证明留待下一节）。\(\mathbb{Q}\) 中无上确界的具体论证、以及由定理推出下确界存在性 / 阿基米德性质 / 有理数稠密性三条结论，都带超纲标记。
- 最后做习题。 6 道题以"求具体集合的 \(\sup\) 与 \(\inf\)"为主，最后一题用确界存在定理做两件事。解答折叠在题目下面，先自己写一遍再对照。
本节要掌握到什么程度¶
本课要求：
- 能说清为什么"\(a \le b\)"可以换成"对每个 \(\varepsilon > 0\) 都有 \(a < b + \varepsilon\)"，并能用 \(\varepsilon_0 = a - b\) 反证；
- 能写出上界的定义，并说明"上界不唯一"（比一个上界大的数仍是上界）；
- 能写出上确界（最小上界）的定义与 \(\varepsilon\) 刻画，并说清两者为什么等价；
- 能独立证明上确界的唯一性；
- 知道确界存在定理的证明尚未给出，需要时把它作为"承认待证"的结论引用，而不是假装已经证过。
以下是超出本课要求、作为完整性补上的内容，第一遍可以跳过：
- 下界与"有界"的对称定义、有界的等价刻画（（超纲））；
- 下确界的定义与 \(\varepsilon\) 刻画、\(\inf\) 的唯一性（（超纲））；
- 对具体集合判断 \(\sup/\inf\) 并回答"是否取到"（（超纲），本页例题与相关习题都属这一类）；
- 确界与最值的关系、无界集与空集的确界约定（（超纲））；
- 确界的运算性质：单调性、数乘、取负（（超纲））；
- \(\mathbb{Q}\) 中无上确界的 \(r(q) = \frac{2q+2}{q+2}\) 构造，以及由定理推出下确界存在性、阿基米德性质、有理数稠密性（（超纲））。