第一章 行列式¶
本章要回答一个问题：\(n\) 元一次方程组的解，能不能写成一个漂亮的统一公式？ 顺着这条线索走下去，会被逼出"\(n\) 阶行列式"这个工具，再往后是它的性质、按行（列）展开，以及作为结论的 Cramer 法则。
本章目录¶
| 节 | 内容 | 状态 |
|---|---|---|
| 1.1 数域 | 群、环、域、数域、\(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\)、数域的交与并 | 已整理 |
| 1.2 排列 | 排列与组合、\(n\) 阶排列、逆序数、对换、奇偶排列、数字华容道 | 已整理 |
| 1.3 \(n\) 阶行列式 | 从方程组到行列式、四阶的困难、一般项与项数 | 开头已整理，带符号的完整定义待补 |
| 1.4 及以后 | 行列式的性质、按行（列）展开、Cramer 法则 | 待补 |
1.1 数域¶
| 页面 | 内容 |
|---|---|
| 本节导读 | 本节路线、学习目标、与导论的衔接 |
| 数域 | 群 → 环 → 域 → 数域，以及 \(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\)、数域的交与并 |
| 习题 | 课本 1.1 的 5 道习题与 1 道思考题，解答默认折叠 |
| 扩展阅读：比 \(\mathbb{C}\) 更大的域 | 思考题的展开：\(\mathbb{C}(x)\)、代数闭域、势与"更大"的四种含义（超纲） |
1.2 排列¶
| 页面 | 内容 |
|---|---|
| 本节导读 | 本节路线、学习目标、与 1.3 的衔接 |
| 排列 | 排列数与组合数（选球模型）、\(n\) 阶排列、自然排列与反序排列 |
| 逆序与逆序数 | 逆序、逆序数、两种计数方法（用划分证明不重不漏）、最大逆序数 |
| 对换与奇偶排列 | 对换、"对换改变奇偶性"的证明、数学归纳法、化为自然排列 |
| 奇排列与偶排列的个数 | 用双射证明奇、偶排列各占一半 |
| 数学建模：数字华容道 | 把拼图游戏翻译成排列问题，用奇偶性判定无解 |
| 例题与练习 | 课堂例题与自拟练习，解答默认折叠 |
1.3 \(n\) 阶行列式¶
| 页面 | 内容 |
|---|---|
| 本节导读 | 本节路线、学习目标、进度说明 |
| 从方程组到行列式 | 一元到 \(n\) 元一次方程组、一阶/二阶/三阶行列式、四阶的困难 |
| \(n\) 阶行列式的定义 | 方阵、一般项、指定行（列）指标为自然排列、共 \(n!\) 项 |
学习路线¶
- 1.1 先把"数"的范围定下来。 前半段（群、环、域）是一层层加条件：半群 → 含幺半群 → 群 → 交换群 → 环 → 域；后半段落到数域。这一节的证明几乎都只用定义的逐条核对，是练"用定义做推导"的好地方。
- 1.2 再备好"排列"这套语言。 核心只有两个概念：逆序数（给每个排列配一个数，用来定正负号）与对换（用来证明与奇偶性有关的结论）。两种逆序数计数方法背后的依据是导论里的划分。
- 1.3 才进入行列式本身。 先用"解方程"把行列式逼出来，接着发现对角线法则到四阶就失效，于是回到"不同行不同列"这一本质，用排列写出一般项并数出 \(n!\) 项。
- 1.4 及以后（待补）给行列式配上符号与性质，最后回到 Cramer 法则，兑现本章开头的目标。
先备好导论再进来
1.1 会直接用到等价类与商集（定义 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 时）与求和记号；1.2 的"不重不漏"用到划分。若这几样还不熟，先看导论。
一个贯穿全章的提醒
中学学过"解二元、三元一次方程组"，但本课程的目的不是再算一遍，而是把解写成统一的形式。因此本章关心的是"结构"而不是"结果"：遇到每一步推导，都值得问一句"这一步用到了哪条定义或哪个已证结论"。