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1.3 \(n\) 阶行列式

本节是第一章的核心：把二阶、三阶行列式推广到一般的 \(n\) 阶行列式。

本次课讲的是本节的开头：先把"为什么要定义行列式"讲清楚（从 \(n\) 元一次方程组的解说起），再指出二阶、三阶的定义方式在四阶时失效，从而说明必须换个角度；最后给出 \(n\) 阶行列式中每一项的一般形状——不同行不同列元素的乘积，以及"共有 \(n!\) 项"这一结论。带符号的完整定义是紧接着的下一步。

这一节为什么难

课堂上有句话值得记住：高中回答一个问题常常一节课就够，而这里回答"\(n\) 元一次方程组的解怎么写"需要引入整套理论。1.1 的数域、1.2 的排列都不是绕路，而是这套理论的零件。本节把它们拼起来。

前置知识
  • 1.1 数域：行列式的元素落在某个数域里
  • 1.2 排列：\(n\) 阶排列、逆序数、对换与奇偶性——本节的直接工具
  • 消元法（中学已学）、连加号 \(\sum\) 与连乘号 \(\prod\)

本节页面

页面 内容 定位
从方程组到行列式 一元到 \(n\) 元一次方程组；一阶、二阶、三阶行列式的定义；四阶的困难 引入与动机
\(n\) 阶行列式的定义 方阵、一般项、指定行指标或列指标为自然排列、共 \(n!\) 项 本节主体

阅读顺序

  1. 先读从方程组到行列式。 顺着"一元 → 二元 → 三元 → \(n\) 元"的线索走一遍，看清行列式是为了简洁地写出解而被逼出来的；重点体会"二阶、三阶时的对角线规律在四阶时断掉了"。
  2. 再读 \(n\) 阶行列式的定义。 正文只做一件事：把"每行取一个、每列取一个"的取法用排列说清楚，从而写出一般项并数出项数。

本节的进度

按课堂进度，本页与上面两个页面覆盖的是 1.3 的开头：到"不同行不同列元素的乘积共有 \(n!\) 项"为止。带符号的完整定义

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)}\, a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} \]

是下一讲的起点，本站在 定义页留了预告框，正文暂不展开。

本节要掌握到什么程度

  • 能说清"为什么需要行列式"——目标是把 \(n\) 元一次方程组的解写成紧凑的形式；
  • 能写出二阶、三阶行列式的定义，并说明三阶的六项为什么"恰好"就是全部不同行不同列元素的乘积；
  • 能说清四阶行列式为什么不能再用对角线法则（广义对角线只给出 \(8\) 项，而不同行不同列的乘积有 \(4! = 24\) 项）；
  • 能写出 \(n\) 阶行列式中一项的一般形状 \(a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}\)，并说明 \(i_1 i_2 \cdots i_n\)、\(j_1 j_2 \cdots j_n\) 都是 \(n\) 阶排列；
  • 能说明为什么可以指定行指标（或列指标）为自然排列，并写出两种写法。

参见