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复合映射与逆映射

本页面介绍映射的两种"运算"：复合（把两个映射接起来）与取逆（把一个映射反过来）。核心结论是：映射 \(f\) 可逆，当且仅当 \(f\) 是双射；此时逆映射唯一。

这条结论把上一页中的单射、满射、双射与"能不能反解"联系了起来，是后面讨论反函数、反三角函数、乃至可逆线性变换的统一依据。

前置知识

复合映射

超纲（可跳过）

复合映射不在本课要求内：复合的定义、结合律、不满足交换律、恒等映射、复合与单射 / 满射的关系，以及"从复合倒推因子"的两个命题，都属于后续内容。

本课关注的是映射的可逆性。阅读时可以把这一节整节跳过，直接从逆映射开始；等以后用到复合（线性变换的合成、链式法则）时再回来。

定义（复合映射）

设 \(f: X \to Y\)，\(g: Y \to Z\) 是映射。定义 \(g\) 与 \(f\) 的复合映射 \(g \circ f\) 为

\[ g \circ f: X \to Z, \qquad (g \circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) \quad (x \in X). \]

也就是说，先作用 \(f\)，再作用 \(g\)。这里要求 \(g\) 在 \(f\) 的每个像点上都有定义，即 \(f(X) \subseteq Y\)（当 \(g\) 的定义域更大时，只需 \(f(X) \subseteq \operatorname{dom} g\) 即可）。

易错点：记号顺序与实际作用顺序相反

\((g \circ f)(x)\) 中写在右边的 \(f\) 先作用，写在左边的 \(g\) 后作用。写成式子就是

\[ x \xrightarrow{\ f\ } f(x) \xrightarrow{\ g\ } g(f(x)). \]

之所以把后作用的写在左边，是为了让记号与"函数值的函数值"这种嵌套写法 \(g(f(x))\) 一致。初学时容易记反，做题时不妨把中间变量写出来：令 \(u = f(x)\)，再算 \(g(u)\)。

复合运算满足结合律，但不满足交换律。

命题（结合律）

设 \(f: X \to Y\)，\(g: Y \to Z\)，\(h: Z \to W\)。则

\[ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f . \]

证明

两个映射的定义域都是 \(X\)，陪域都是 \(W\)，因此只需验证它们在每个 \(x \in X\) 上取值相同。对任意 \(x \in X\)，

\[ \bigl(h \circ (g \circ f)\bigr)(x) = h\bigl((g \circ f)(x)\bigr) = h\bigl(g(f(x))\bigr), \]
\[ \bigl((h \circ g) \circ f\bigr)(x) = (h \circ g)\bigl(f(x)\bigr) = h\bigl(g(f(x))\bigr). \]

两者相等，故复合满足结合律。

复合不满足交换律

即使 \(f \circ g\) 与 \(g \circ f\) 都有意义，它们一般也不相等。取 \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，

\[ f(x) = x + 1, \qquad g(x) = x^2 , \]

则

\[ (f \circ g)(x) = x^2 + 1, \qquad (g \circ f)(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1, \]

两者不相等（例如 \(x = 1\) 时分别是 \(2\) 与 \(4\)）。

两个映射都可以取复合时，还有恒等映射作为"单位元"：

\[ f \circ id_X = f, \qquad id_Y \circ f = f \qquad (f: X \to Y). \]

把这两条与下面的逆映射定义对照，可以看出：逆映射就是"在复合意义下的逆元"。

复合与单射、满射的关系

命题（复合保持单射性与满射性）

设 \(f: X \to Y\)，\(g: Y \to Z\)。

  1. 若 \(f\) 与 \(g\) 都是单射，则 \(g \circ f\) 是单射；
  2. 若 \(f\) 与 \(g\) 都是满射，则 \(g \circ f\) 是满射；
  3. 从而若 \(f\) 与 \(g\) 都是双射，则 \(g \circ f\) 是双射。

证明

第 1 条。 设 \((g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)\)，即 \(g(f(x_1)) = g(f(x_2))\)。由 \(g\) 是单射得 \(f(x_1) = f(x_2)\)，再由 \(f\) 是单射得 \(x_1 = x_2\)。故 \(g \circ f\) 是单射。

第 2 条。 任取 \(z \in Z\)。由 \(g\) 是满射，存在 \(y \in Y\) 使 \(g(y) = z\)；由 \(f\) 是满射，存在 \(x \in X\) 使 \(f(x) = y\)。于是

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z, \]

故 \(g \circ f\) 是满射。

第 3 条。 由前两条，既单又满，即双射。

反过来，从复合的性质可以"倒推"出单个映射的性质，但只能倒推一半：

命题（从复合倒推）

设 \(f: X \to Y\)，\(g: Y \to Z\)。

  1. 若 \(g \circ f\) 是单射，则 \(f\) 是单射；
  2. 若 \(g \circ f\) 是满射，则 \(g\) 是满射。

证明

第 1 条。 设 \(f(x_1) = f(x_2)\)，两边作用 \(g\) 得 \((g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)\)；由 \(g \circ f\) 是单射得 \(x_1 = x_2\)。故 \(f\) 是单射。

第 2 条。 任取 \(z \in Z\)。由 \(g \circ f\) 是满射，存在 \(x \in X\) 使 \(g(f(x)) = z\)。取 \(y = f(x) \in Y\)，则 \(g(y) = z\)，故 \(g\) 是满射。

这两个命题不能加强

  • \(g \circ f\) 是单射不能推出 \(g\) 是单射；
  • \(g \circ f\) 是满射不能推出 \(f\) 是满射。

一个例子同时说明这两点。取

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2, \quad f(x) = (x, 0); \qquad g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad g(u, v) = u . \]

则对一切 \(x\) 有 \((g \circ f)(x) = g(x, 0) = x\)，即 \(g \circ f = id_{\mathbb{R}}\)，它是双射（既是单射又是满射）；但 \(f\) 不是满射（\((0,1)\) 没有原像），\(g\) 不是单射（\(g(0,1) = g(0,2) = 0\)）。

逆映射

定义（可逆映射、逆映射）

设 \(f: X \to Y\)。若存在映射 \(g: Y \to X\) 使得

\[ g \circ f = id_X \quad \text{且} \quad f \circ g = id_Y, \]

则称 \(f\) 是可逆映射，\(g\) 是 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\)。

把复合写开，就是

\[ f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x \quad (\forall x \in X), \qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y \quad (\forall y \in Y). \]

写法上还要交代一句：把定义域 \(X\) 的元素写成小写 \(x\)、把陪域 \(Y\) 的元素写成小写 \(y\)，从而把映射写成 \(y = f(x)\)，只是约定俗成的书写方便（大写字母记集合、小写字母记元素），映射本身没有变。所以 \(f: X \to Y\)、\(x \mapsto f(x)\)、\(y = f(x)\) 说的是同一个对应，做题时按顺手的一种写即可；反函数写成 \(y = f^{-1}(x)\) 也只是把字母对调过来，不是换了一个映射。

定理（可逆的充要条件）

设 \(f: X \to Y\)。则 \(f\) 可逆当且仅当 \(f\) 是双射；此时逆映射是唯一的。

证明

（充分性）设 \(f\) 是双射，构造它的逆。

对每个 \(y \in Y\)，由 \(f\) 是满射，集合 \(\{\, x \in X \mid f(x) = y \,\}\) 非空；由 \(f\) 是单射，其中至多有一个元素。于是它恰好含一个元素，记为 \(x\)，并定义

\[ g: Y \to X, \qquad g(y) = x \quad \text{其中 } f(x) = y . \]

这个定义是良定义的：上面已说明对每个 \(y\) 满足 \(f(x) = y\) 的 \(x\) 存在且唯一，所以 \(g(y)\) 有确定的值，\(g\) 确实是映射。

  • 对任意 \(x \in X\)：记 \(y = f(x)\)，则 \(g(y)\) 是满足 \(f(\cdot) = y\) 的那个唯一元素，故 \(g(y) = x\)，即 \((g \circ f)(x) = x\)。故 \(g \circ f = id_X\)。
  • 对任意 \(y \in Y\)：\(g(y) = x\) 满足 \(f(x) = y\)，故 \((f \circ g)(y) = f(x) = y\)。故 \(f \circ g = id_Y\)。

因此 \(f\) 可逆，且 \(f^{-1} = g\)。

（必要性）设 \(f\) 可逆，证明它是双射。

设 \(g\) 是 \(f\) 的逆。

  • 单射：设 \(f(x_1) = f(x_2)\)。两边作用 \(g\) 得

    \[ x_1 = (g \circ f)(x_1) = g\bigl(f(x_1)\bigr) = g\bigl(f(x_2)\bigr) = (g \circ f)(x_2) = x_2 , \]

    故 \(f\) 是单射。

  • 满射：任取 \(y \in Y\)。取 \(x = g(y) \in X\)，则

    \[ f(x) = f\bigl(g(y)\bigr) = (f \circ g)(y) = y, \]

    故 \(y\) 有原像，\(f\) 是满射。

于是 \(f\) 是双射。

（唯一性） 设 \(g, h: Y \to X\) 都满足逆映射的两条恒等式。则

\[ g = g \circ id_Y = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = id_X \circ h = h, \]

其中第一步用了 \(id_Y\) 是单位元，第二步用了 \(f \circ h = id_Y\)，第三步用了结合律，第四步用了 \(g \circ f = id_X\)，第五步用了 \(id_X\) 是单位元。故逆映射唯一。

必要性框架：为什么必须是双射

必要性可以概括成一句话：逆映射的两条恒等式各用掉一半条件。

  • \(g \circ f = id_X\)（先作用 \(f\)，再用 \(g\) 把像拉回原处）用到的是"每个 \(x\) 在 \(f\) 下只有一个像"，也就是 \(f\) 的单射性——否则拉回来时不知道该回到哪个 \(x\)；
  • \(f \circ g = id_Y\)（对每个 \(y\) 都能用 \(g\) 找到原像、再映回来）用到的是"每个 \(y\) 都有原像"，也就是 \(f\) 的满射性。

所以单射与满射各负责一条恒等式，缺一条就有一条写不出来；两条都满足即 \(f\) 是双射，\(f^{-1}\) 于是存在。这与本页证明中的必要性部分（先证单射、再证满射）是同一件事，只是把"哪一半条件用在哪一步"点明了。

这条定理的用法

判断"能否反解"的问题，只需检查两件事：不同的输入是否给出不同的输出（单射），陪域中每个点是否都能取到（满射）。这解释了为什么讨论反函数时必须先限定定义域：\(\sin\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不是单射，但限制到 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上就同时是单射与满射了。

逆映射还有两条常用性质，都可以用"验证复合恒等式 + 唯一性"来证：

超纲（可跳过）

逆映射的这两条性质（\((f^{-1})^{-1} = f\) 与 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)）超出本课要求；其中第 2 条还要用到上面标为超纲的复合映射。

命题

  1. 若 \(f: X \to Y\) 可逆，则 \(f^{-1}: Y \to X\) 也可逆，且 \((f^{-1})^{-1} = f\)；

  2. 若 \(f: X \to Y\) 与 \(g: Y \to Z\) 都可逆，则 \(g \circ f\) 可逆，且

    \[ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} . \]

证明

第 1 条。 由 \(f^{-1} \circ f = id_X\) 与 \(f \circ f^{-1} = id_Y\) 两条恒等式可以看出，\(f\) 正是 \(f^{-1}\) 的逆映射（两条恒等式的角色互换而已）。由逆映射的唯一性，\(f^{-1}\) 可逆且 \((f^{-1})^{-1} = f\)。

第 2 条。 直接验证 \((f^{-1} \circ g^{-1})\) 满足逆映射的两条恒等式。用结合律：

\[ (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ id_Y \circ f = f^{-1} \circ f = id_X , \]
\[ (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ id_Y \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = id_Z . \]

故 \(g \circ f\) 可逆，且 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)。

超纲（可跳过）

这一条依赖复合映射，随上一节一并跳过。

易错点：复合的逆要反序

\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)，不是 \(g^{-1} \circ f^{-1}\)。直观上也好理解：\(g \circ f\) 是"先 \(f\) 后 \(g\)"，要把它反过来，就得"先反 \(g\) 后反 \(f\)"——像脱鞋袜的顺序一样，反着来。

图像与对称性

定义（映射的图像）

设 \(f: X \to \mathbb{R}\) 是函数（\(X \subseteq \mathbb{R}\)）。称 \(\mathbb{R}^2\) 的子集

\[ \Gamma_f = \{\, (x, y) \mid x \in X,\ y = f(x) \,\} \subseteq X \times \mathbb{R} \]

为 \(f\) 的图像。

命题（\(f\) 与 \(f^{-1}\) 的图像关于 \(y = x\) 对称）

设 \(f: X \to Y\) 是双射（\(X, Y \subseteq \mathbb{R}\)），\(\Gamma_f\) 与 \(\Gamma_{f^{-1}}\) 分别是 \(f\) 与 \(f^{-1}\) 的图像。则

\[ (x, y) \in \Gamma_f \iff (y, x) \in \Gamma_{f^{-1}} . \]

也就是说，把 \(\Gamma_f\) 关于直线 \(y = x\) 作对称，恰好得到 \(\Gamma_{f^{-1}}\)。

证明

按图像与原函数的定义逐条翻译：

\[ (x, y) \in \Gamma_f \iff y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \iff (y, x) \in \Gamma_{f^{-1}} . \]

第一个等价是 \(\Gamma_f\) 的定义，第二个等价是把 \(y = f(x)\) 两边作用 \(f^{-1}\)（\(f\) 可逆，故这一步可逆），第三个等价是 \(\Gamma_{f^{-1}}\) 的定义。

易错点：交换 \(x\) 与 \(y\) 并不等于换了个函数

要特别提醒：大家很习惯一看到反函数就"把 \(x\) 和 \(y\) 交换一下"，这个习惯容易造成混乱。

  • 交换字母只改变写法：\(y = f(x)\) 与 \(x = f^{-1}(y)\) 是同一条对应关系的两种写法，\(f\) 与 \(f^{-1}\) 仍是两个方向相反的映射。
  • 交换之后必须同时写清定义域与值域：\(f\) 的定义域成为 \(f^{-1}\) 的值域，\(f\) 的值域成为 \(f^{-1}\) 的定义域（本页例题 1 核对答案用的就是这一点）。
  • 画图时两个坐标轴要取相同的单位长度，否则两条曲线看起来并不关于 \(y = x\) 对称（见下面的提示框）。

画图时的前提：两坐标轴单位长度相同

"关于 \(y = x\) 对称"这句话依赖于平面上坐标轴取相同的单位长度。如果横轴与纵轴的单位长度不同，画出来的两条曲线看起来并不关于 \(y = x\) 对称。手工画 \(\arcsin\) 或 \(\arctan\) 的图像时要注意这一点，否则容易得出错误印象。

例题

下面三道例题里，例题 1 只用到本课要求的"可逆 \(\iff\) 双射"与"解方程求逆"，是基本技能的直接演练；例题 2、3 依赖复合（超出本课要求），供学有余力的读者参考。

例题 1（判断可逆并求逆映射）

设

\[ f: (1, +\infty) \to (0, +\infty), \qquad f(x) = \frac{1}{x - 1}. \]

判断 \(f\) 是否可逆；若可逆，求 \(f^{-1}\)。

解 单射。 设 \(f(x_1) = f(x_2)\)，即 \(\frac{1}{x_1 - 1} = \frac{1}{x_2 - 1}\)。两个分母都非零，交叉相乘得 \(x_2 - 1 = x_1 - 1\)，故 \(x_1 = x_2\)。

满射。 任取 \(y \in (0, +\infty)\)，令 \(x = 1 + \frac{1}{y}\)。由 \(y > 0\) 知 \(\frac{1}{y} > 0\)，故 \(x > 1\)，即 \(x \in (1, +\infty)\)；并且

\[ f(x) = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{y}\right) - 1} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y . \]

故 \(f\) 是满射。于是 \(f\) 是双射，由定理可逆，且

\[ f^{-1}: (0, +\infty) \to (1, +\infty), \qquad f^{-1}(y) = 1 + \frac{1}{y}. \]

验证复合恒等式：对 \(x > 1\) 有 \(f^{-1}(f(x)) = 1 + (x - 1) = x\)；对 \(y > 0\) 有 \(f(f^{-1}(y)) = \dfrac{1}{\left(1 + \frac1y\right) - 1} = y\)。两条都成立。

超纲（可跳过）

本页三道例题都是补充练习。其中例题 1 只用"可逆 \(\iff\) 双射"与解方程求逆，属于本课要求的基本技能；例题 2、3 依赖复合映射（复合的逆、以及"\(g \circ f\) 是双射推不回因子"），超出本课要求。

例题 2（复合的逆）

设 \(f: X \to Y\) 与 \(g: Y \to Z\) 都可逆。证明 \(g \circ f\) 可逆，并求它的逆映射。

解 由命题第 2 条，\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)。这里把验证过程再写一遍，作为"用定义验证逆映射"的示范。

只需验证 \(f^{-1} \circ g^{-1}\) 与 \(g \circ f\) 复合得到两个恒等映射。由结合律，

\[ (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ id_Y \circ f = f^{-1} \circ f = id_X , \]
\[ (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ id_Y \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = id_Z . \]

故 \(g \circ f\) 可逆，且 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)。

例题 3（\(g \circ f\) 是双射，\(f\)、\(g\) 未必可逆）

设 \(f: X \to Y\)，\(g: Y \to Z\)，且 \(g \circ f\) 是双射。问：\(f\) 与 \(g\) 是否一定可逆？

解 不一定。 由前面的命题，只能得到 \(f\) 是单射、\(g\) 是满射——这只凑齐了可逆所需的一半。

具体例子：取 \(X = \{0\}\)，\(Y = \{0, 1\}\)，\(Z = \{0\}\)，

\[ f: X \to Y, \quad f(0) = 0; \qquad g: Y \to Z, \quad g(0) = g(1) = 0 . \]

则 \(g \circ f: X \to Z\) 把 \(0\) 映到 \(0\)，而 \(X = Z = \{0\}\)，故 \(g \circ f\) 是双射。但

  • \(f\) 不是满射（\(1 \in Y\) 没有原像），故 \(f\) 不可逆；
  • \(g\) 不是单射（\(g(0) = g(1)\)），故 \(g\) 不可逆。

这个例子说明：复合之后可逆，并不保证每个因子都可逆；只有两边都是双射时才能由复合推回因子（这正是命题第 1、2 条的反面不成立之处）。

常见误区

易错点

  • 复合的顺序。 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)，右边的 \(f\) 先作用；不要按从左到右的阅读顺序理解。 （超纲）
  • 复合有意义的前提。 要写出 \(g \circ f\)，必须 \(f\) 的每个像都落在 \(g\) 的定义域内；否则 \(g \circ f\) 在部分点上没有定义。 （超纲）
  • 可逆 \(=\) 双射。 只有单射（如 \(\exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)）或只有满射（如常值映射 \(\mathbb{R} \to \{0\}\)）都不够；这是本节最重要的结论。
  • \(f^{-1}(B)\) 与 \(f^{-1}\) 是两回事。 前者是原像集（任何映射都有），后者是逆映射（要求双射）。
  • \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) 的顺序。 不要写成 \(g^{-1} \circ f^{-1}\)。 （超纲）
  • 记号 \(\sin^{-1}\) 有歧义。 \(\sin^{-1} x\) 在多数教材中表示 \(\arcsin x\)（逆映射），而 \((\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}\) 表示倒数。为避免混淆，本笔记一律写 \(\arcsin x\) 而不写 \(\sin^{-1} x\)。
  • 图像对称性依赖坐标轴同尺度。 见本页的提示框。

参见