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1.2 映射

本节是第一章的核心。它把中学里"一个 \(x\) 对应一个 \(y\)"的说法改写成一条可以核对的定义：

\[ \forall x \in X,\ \exists!\, y \in Y,\quad y = f(x). \]

这条定义里最有分量的是量词 \(\exists!\)（"存在唯一"）——它同时要求"处处有定义"与"像唯一"。由此可以分出三类重要的映射（单射、满射、双射），并得到本节的主定理：映射可逆当且仅当它是双射。

后面几乎所有"可逆"的问题（反函数、反三角函数、可逆线性变换、坐标变换）都以这一条为依据，所以本节值得慢慢读。

前置知识
  • 1.1 集合：属于与包含、子集、并交差、区间与邻域
  • 1.1 集合 · 卡氏积：有序对与 \(\mathbb{R}^2\) 的记号（用于定义函数的图像）

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页面 内容 定位
映射的定义与分类 映射的定义、像与原像、单射 / 满射 / 双射、限制与延拓 本节主线（上）
复合映射与逆映射 复合、结合律、逆映射存在的充要条件、图像关于 \(y = x\) 对称 本节主线（下）
习题 判型、像与原像、复合与可逆的补充练习，解答默认折叠 检验是否真的掌握

阅读顺序

  1. 先读映射的定义与分类。 重点是三件事：映射由定义域、陪域、对应法则三者共同确定；"值域"只是陪域的子集，一般不等于陪域；单射、满射、双射的定义以及它们与"有限集计数"的关系。
  2. 再读复合映射与逆映射。 复合是把两个映射接起来，逆映射是把一个映射"反过来"；后者存在的充要条件正是双射，这条定理由笔记反复强调，务必能自己写出证明。
  3. 最后做习题。 判型题要逐条核对定义，不能靠"看图说话"；证明题的标准套路是取点、用定义、推结论。

本节要掌握到什么程度

  • 能写出映射的定义，并说清 \(\exists!\) 排除了什么、允许了什么；
  • 能分清 \(\operatorname{Im} f\) 与陪域，并知道同一个对应法则配上不同陪域会改变满射性；
  • 能写出像集 \(f(A)\) 与原像集 \(f^{-1}(B)\) 的定义，并知道 \(f^{-1}(B)\) 不要求 \(f\) 可逆；
  • 能写出单射、满射、双射的定义，并判断具体映射的类型；
  • 能证明"有限集上 \(\#X = \#Y\) 时，单射、满射、双射三者等价"；
  • 能写出复合映射的定义与结合律，并会判断复合后的单射性、满射性；
  • 能完整证明"\(f\) 可逆 \(\iff\) \(f\) 是双射"，并能求出简单映射的逆映射；
  • 能用限制定义域的办法把不可逆的映射变成可逆（这是 1.3 反三角函数 的关键动作）。

参见