连加与连乘

本页是导论的最后一页，讲 \(\sum\) 与 \(\prod\) 两个记号。它们看起来只是"偷懒的写法"，但指标界定不清是后面处理矩阵、行列式时最常见的错误来源，所以这里把约定和性质一次说清。

页面后半段以多项式相乘为例，把二重连加与"合并同类项"完整走一遍——这两件事在矩阵乘法与行列式展开里会原样再出现一次。

前置知识

• 高中已学的加法、乘法交换律与结合律
• 集合与卡氏积中指标集的概念（本页的和式一律是有限项之和）

记号

定义（连加与连乘）

设 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是 \(n\) 个数，记

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \qquad \prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 a_2 \cdots a_n . \]

其中 \(\Sigma\) 称为连加号（读作 sigma，即希腊字母 \(\sigma\) 的大写），\(\Pi\) 称为连乘号（读作 pi），\(a_i\) 称为一般项，\(i\) 称为求和指标或连乘指标。

约定：

• 指标只在记号内部起作用，换成其他字母不影响结果，例如 \(\sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{k=1}^{n} a_k\)。这类变量称为哑指标。
• 上下限也可以写得更宽松，如 \(\sum_{i \in I} a_i\)（\(I\) 为有限指标集）、\(\sum_{d \mid n} a_d\)、\(\sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij}\)。指标的范围必须交代清楚：书写多重和式时，避免指标界定不清导致的"逻辑断层"，是后面处理矩阵、行列式时最容易出错的地方。
• 当范围由上下文完全确定时，也常省掉部分甚至全部上下界，例如 \(\sum_{i} a_i\)、\(\sum a_i\)；但这只在不会引起歧义时才允许。本笔记的做法是尽量把范围写全，只有像 \(\sum_{i, j} a_{ij}\) 这样指标本身已说明范围时才简写。

约定（空和与空积）

还有一条容易忽略的边界约定：上下限"倒过来"时，约定为一项也没有。若 \(a > b\)，则

\[ \sum_{i=a}^{b} a_i = 0, \qquad \prod_{i=a}^{b} a_i = 1, \]

也就是说"一项都没加到""一项都没乘到"。不要把 \(\sum\limits_{i=a}^{b}\) 读成"从 \(a\) 倒着加到 \(b\)"——那不是通用约定；本笔记一律采用"下标不落在范围内就没有项"。

特别地，取 \(n = 0\) 得

\[ \sum_{i=1}^{0} a_i = 0, \qquad 0! = \prod_{i=1}^{0} i = 1, \]

后者正是"\(0! = 1\)"这条约定的来源。有了它，"拆分求和范围"在端点（\(k = 0\) 或 \(k = n\)）也不必另外讨论。

常用性质

设各和式都有意义，则

\[ \sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i \pm \sum_{i=1}^{n} b_i, \qquad \sum_{i=1}^{n} c\, a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \quad (c \text{ 与 } i \text{ 无关}), \]

并且可以对求和范围做拆分：

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{k} a_i + \sum_{i=k+1}^{n} a_i \quad (0 \le k \le n). \]

这里把 \(k\) 放宽到了两端：\(k = 0\) 与 \(k = n\) 时，按上面的空和约定，公式的一端是空和 \(0\)、另一端就是整个和式，等式照样成立，不必单独讨论。

有限和与有限积均可交换次序：

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}, \qquad \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} a_{ij} = \prod_{j=1}^{n} \prod_{i=1}^{m} a_{ij}. \]

当求和指标之间没有耦合关系时，上面的二重和常简写为

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{i, j} a_{ij}, \]

也可写成 \(\sum_{1 \le i \le m,\, 1 \le j \le n} a_{ij}\)。对一个集合 \(A = (a_{ij})_{m \times n}\) 的全部元素求和，就是

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}. \]

注意

无限和一般不能随意交换次序、也不能套用上述线性性质，相关讨论属于级数理论的范围。记号上把上界写成 \(\infty\)（如 \(\sum\limits_{i=0}^{\infty} a_i\)）表示"部分和数列的极限"，它并不是有限项相加；本页面涉及的求和一律是有限项之和，这一点在后面处理矩阵、行列式时是默认前提。

连加连乘的典型写法

平方和。 前 \(n\) 个正整数平方之和记为

\[ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

一句谐音，记住这三个系数

我（\(n\)）和我的哥哥（\(n+1\)）一起（我与他合起来：\(n + (n+1) = 2n+1\)）去（除以）遛（\(6\)）狗。

连起来读就是 \(\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}\)。

等差数列求和。 从 \(a\) 加到 \(b\)（\(a \le b\)）共 \(b - a + 1\) 项，首末两项的平均是 \(\frac{a+b}{2}\)，故

\[ \sum_{i=a}^{b} i = \frac{(a + b)(b - a + 1)}{2}, \qquad \text{取 } a = 1: \qquad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}. \]

把同一个和式正着写一遍、倒着写一遍再相加，左边得 \(2\sum_i i\)，右边每一对都是 \(a + b\)、共 \(b - a + 1\) 对，公式随即得出——这就是"倒序相加"。

二项式定理。 注意指标从 \(k = 0\) 开始，且 \(k = 0\) 项为 \(b^n\)：

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{\,n-k}. \]

多项式相乘。 两个多项式的乘积可以直接写成二重连加：

\[ \left(\sum_{i=0}^{m} a_i x^i\right)\left(\sum_{j=0}^{n} b_j x^j\right) = \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} a_i b_j\, x^{\,i+j} . \]

右端同一个次数会出现很多次（例如 \(x^2\) 的系数来自 \((i, j) = (0,2), (1,1), (2,0)\)），所以它还不是"按次数整理好"的形式；怎样合并同类项，见下面的多项式相乘。

阶乘。 连乘最标准的例子是阶乘：

\[ \prod_{i=1}^{n} i = 1 \cdot 2 \cdots n = n! . \]

按上面空积的约定，\(n = 0\) 时右端为 \(1\)，即 \(0! = 1\)。（排列一节用阶乘数排列的个数。）

偶数连乘。 前 \(n\) 个正偶数的乘积可提出公因子：

\[ 2 \times 4 \times \cdots \times (2n) = \prod_{j=1}^{n} (2j) = 2^{n} \prod_{j=1}^{n} j = 2^{n} n!. \]

矩阵元素求和。 上三角部分（含主对角线）元素之和可以只用一个求和号紧凑表示：

\[ \sum_{1 \le i \le j \le n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij}. \]

多项式相乘

连加号最典型的用武之地是多项式。设

\[ f(x) = \sum_{i=0}^{m} a_i x^i, \qquad g(x) = \sum_{j=0}^{n} b_j x^j \]

（其中 \(a_m \ne 0\)、\(b_n \ne 0\)，故 \(f\) 是 \(m\) 次多项式、\(g\) 是 \(n\) 次多项式）。

命题（乘积的展开式）

\[ f(x)\, g(x) = \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} a_i b_j\, x^{\,i+j} . \]

证明

两次使用分配律，每次把"与内层指标无关的因子"提到求和号外：

\[ \begin{aligned} f(x)\, g(x) &= \left(\sum_{i=0}^{m} a_i x^i\right)\left(\sum_{j=0}^{n} b_j x^j\right) = \sum_{i=0}^{m} \left(a_i x^i \sum_{j=0}^{n} b_j x^j\right) \\ &= \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} a_i x^i\, b_j x^j = \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} a_i b_j\, x^{\,i+j} . \end{aligned} \]

第一步把第一个和式的每一项乘到第二个和式上（分配律），并把与 \(j\) 无关的因子 \(a_i x^i\) 提到内层求和号之外；第二步把 \(a_i x^i\) 乘进内层，并用 \(x^i x^j = x^{\,i+j}\) 合并。

定义（Cauchy 乘积）

把展开式按 \(x\) 的次数归类。记

\[ c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j \qquad (k = 0, 1, \dots, m+n), \]

则

\[ f(x)\, g(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_k x^k . \]

其中 \(\sum\limits_{i+j=k}\) 表示对所有满足 \(i + j = k\) 的整数对求和。由于 \(0 \le i \le m\)、\(0 \le j \le n\)，这样的整数对只有有限多个，这个和式才有意义。数列 \(\{c_k\}\) 称为 \(\{a_i\}\) 与 \(\{b_j\}\) 的卷积，也叫这两个多项式的 Cauchy 乘积。

指标范围要老老实实算

若把内层指标随手写成"\(i\) 从 \(0\) 到 \(k\)"，当 \(k > m\) 或 \(k > n\) 时就会用到并不存在的 \(a_i\)、\(b_{k-i}\)。正确的范围是让两个下标都落在自己的定义域内：

\[ 0 \le i \le m, \qquad 0 \le k - i \le n . \]

解这个不等式组得

\[ \max(0,\, k-n) \le i \le \min(m,\, k), \]

所以

\[ c_k = \sum_{i = \max(0,\, k-n)}^{\min(m,\, k)} a_i\, b_{k-i} . \]

两端的两个极端情形可以看出这个范围的作用：\(k = 0\) 时 \(i\) 只能取 \(0\)，故 \(c_0 = a_0 b_0\)；\(k = m+n\) 时 \(i\) 只能取 \(m\)，故 \(c_{m+n} = a_m b_n\)。这正是本页开头强调的"指标的范围必须交代清楚"。

如果约定"下标越界时该项为 \(0\)"（即 \(a_i = 0\) 对 \(i > m\)、\(b_j = 0\) 对 \(j > n\)），上面那些不等式就可以省掉，把 \(c_k\) 直接写成 \(\sum\limits_{i=0}^{k} a_i b_{k-i}\)。这是一种常见的简化写法，但必须先声明这个约定。

例题 1（具体数字）

计算 \((1 + 2x)(3 - x + x^2)\)。

解 这里 \(a_0 = 1\)、\(a_1 = 2\)（\(m = 1\)），\(b_0 = 3\)、\(b_1 = -1\)、\(b_2 = 1\)（\(n = 2\)）。先把二重展开式的 \(2 \times 3 = 6\) 项 \(a_i b_j x^{\,i+j}\) 列成表：

	\(j=0\)（\(b_0 = 3\)）	\(j=1\)（\(b_1 = -1\)）	\(j=2\)（\(b_2 = 1\)）
\(i=0\)（\(a_0 = 1\)）	\(3\)	\(-x\)	\(x^2\)
\(i=1\)（\(a_1 = 2\)）	\(6x\)	\(-2x^2\)	\(2x^3\)

再按次数 \(k = i + j\) 合并同类项：

次数 \(k\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(c_k\)	\(3\)	\(-1 + 6 = 5\)	\(1 - 2 = -1\)	\(2\)

所以

\[ (1 + 2x)(3 - x + x^2) = 3 + 5x - x^2 + 2x^3 . \]

验算：逐项相乘得 \(3 - x + x^2 + 6x - 2x^2 + 2x^3 = 3 + 5x - x^2 + 2x^3\)，一致。

例题 2（比较系数：Vandermonde 恒等式）

用两种方式求 \((1+x)^m (1+x)^n\) 中 \(x^k\) 的系数。

解 一方面，由二项式定理

\[ (1+x)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} x^i, \qquad (1+x)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j, \]

把两者相乘并按次数合并，\(x^k\) 的系数为

\[ \sum_{i+j=k} \binom{m}{i}\binom{n}{j} = \sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i}\binom{n}{k-i} \]

（这里已按上一段的约定，把 \(\binom{m}{i}\) 在 \(i > m\) 时视为 \(0\)，所以指标可以放心地写成 \(0\) 到 \(k\)）。

另一方面，\((1+x)^m (1+x)^n = (1+x)^{m+n}\)，其中 \(x^k\) 的系数是 \(\binom{m+n}{k}\)。

同一个多项式的同一次系数只有一个，两者必须相等，于是

\[ \sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i}\binom{n}{k-i} = \binom{m+n}{k} \qquad (0 \le k \le m+n), \]

这就是 Vandermonde 恒等式。

验算：取 \(m = 2\)、\(n = 3\)、\(k = 2\)，左边为

\[ \binom{2}{0}\binom{3}{2} + \binom{2}{1}\binom{3}{1} + \binom{2}{2}\binom{3}{0} = 3 + 6 + 1 = 10, \]

右边为 \(\binom{5}{2} = 10\)，一致。

超纲（可跳过）

"两个多项式相等当且仅当各次系数相等"属于多项式理论，本课不展开（直观理由：把所有项移到一边并按次数排列，一个非零的多项式不可能处处取值为 \(0\)）。Vandermonde 恒等式本身也是课外推广——把它放在这里，只是为了示范"二重连加 + 比较系数"这一套手法，它在组合与行列式里都会用到。

例题 3（连乘展开成连加）

把 \(\prod\limits_{i=1}^{n}(x - a_i)\) 展开成按次数整理的连加式。

解 先看 \(n = 2, 3\)：

\[ (x - a_1)(x - a_2) = x^2 - (a_1 + a_2)\,x + a_1 a_2, \]

\[ (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)\,x^2 + (a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3)\,x - a_1a_2a_3 . \]

规律是：\(x^{\,n-k}\) 的系数等于"从 \(a_1, \dots, a_n\) 中任取 \(k\) 个相乘，再把所有这样的积加起来"，符号为 \((-1)^k\)。写成连加：

\[ \prod_{i=1}^{n} (x - a_i) = x^n + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}\right) x^{\,n-k} . \]

括号里的和式同时用到了两种记号：外层连加（把不同的取法加起来）、内层连乘（每一种取法自身的积）；\(k = n\) 时它退化成 \(a_1 a_2 \cdots a_n\)，与上面 \(n = 3\) 时的末项 \(-a_1a_2a_3\) 一致。

超纲（可跳过）

括号里这些和式在多项式理论里称为初等对称多项式（记作 \(e_k\)），本课不要求掌握。\(n = 2, 3\) 的情形就是中学的韦达定理；一般情形在后面讲特征多项式时会再遇到。

三个或更多多项式

展开式可以层层叠加。三个多项式的乘积是

\[ \left(\sum_{i} a_i x^i\right)\left(\sum_{j} b_j x^j\right)\left(\sum_{l} c_l x^l\right) = \sum_{i} \sum_{j} \sum_{l} a_i b_j c_l\, x^{\,i+j+l}, \]

合并同类项时按 \(i + j + l = k\) 分组，得三重和式

\[ d_k = \sum_{i+j+l=k} a_i b_j c_l . \]

指标越多，"越界"的坑就越多：三层下标必须同时满足 \(0 \le i \le m\)、\(0 \le j \le n\)、\(0 \le l \le p\)，否则同样会写出不存在的项。

例题

例题

设 \(A = (a_{ij})_{m \times n}\)，用求和号写出 \(A\) 中所有满足 \(i + j\) 为奇数的元素之和。

解 即"棋盘格"中一半的元素之和：

\[ \sum_{\substack{1 \le i \le m \\ 1 \le j \le n \\ i + j \text{ 为奇数}}} a_{ij}. \]

也可以先对行、再对列求和：

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{\substack{1 \le j \le n \\ j \not\equiv i \pmod 2}} a_{ij}. \]

参见

• 关系与等价类：上一页，商集与等价类
• 数域：正文从这里开始，求和约定在矩阵、行列式中会反复使用
• 首页：全站记号约定