集合与卡氏积¶
本页是导论的起点，只做一件事：把"有序组"这个概念用集合的语言说清楚。它是下一面关系与等价类的准备——因为"关系"就是用有序对定义的；再往后，\(\mathbb{R}^n\) 这样的记号会贯穿整个高等代数。
本页不涉及任何代数结构，只需高中集合的基本记号。
记号约定¶
先把后面反复用到的集合运算集中列一遍。
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| \(x \in A\) / \(x \notin A\) | \(x\) 是 / 不是集合 \(A\) 的元素 |
| \(A \subseteq B\) | \(A\) 是 \(B\) 的子集：对任意 \(x \in A\) 都有 \(x \in B\) |
| \(A = B\) | \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\) |
| \(A \cap B\) | 交：\(\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\) |
| \(A \cup B\) | 并：\(\{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\) |
| \(A \setminus B\) | 差：\(\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}\) |
| \(\varnothing\) | 空集 |
判等要靠双向包含
"两个集合相等"没有别的判据，只能两边互相包含：证明 \(A = B\) 时，标准写法是先取 \(x \in A\) 证 \(x \in B\)，再取 \(x \in B\) 证 \(x \in A\)。后面证明集合相等（例如各类等价类的相等、子空间的相等）用的都是这个套路。
为什么需要有序组¶
给定一个集合 \(X\)，我们常常关心的不是"某个元素属于哪个集合"，而是"集合中的元素之间有什么关系"。例如在学生集合上，"住在同一宿舍"是一种关系；在整数集合上，"除以 \(n\) 余数相同"也是一种关系。
用集合的语言来刻画，关系就是把 \(X\) 中元素组成的有序对挑出一部分来。因此需要先有表示"有序对"的集合构造，这就是卡氏积。
卡氏积¶
定义（卡氏积）
设 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是 \(n\) 个集合，它们的 卡氏积（Cartesian product，也叫笛卡尔积）定义为所有 \(n\) 元有序组的集合：
若 \(x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \prod_{i=1}^{n} X_i\)，则称 \(x_i\) 是 \(x\) 的第 \(i\) 个分量。
几点说明：
- 有序组强调"顺序"：\((x_1, x_2) \ne (x_2, x_1)\)（除非 \(x_1 = x_2\)），这是它与无序对 \(\{x_1, x_2\}\) 的本质区别。
- \(n = 2\) 时，\(\prod_{i=1}^{2} X_i = X_1 \times X_2\)，就是通常的二元有序对集合。
-
若 \(X_1 = X_2 = \cdots = X_n = X\)，则卡氏积简记为 \(X^n\)，即
\[ X^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in X,\ i = 1, \dots, n\}. \]例如 \(\mathbb{R}^n\) 表示全体 \(n\) 元有序实数组，\(\mathbb{R}^2\) 就是平面直角坐标系中的点集。
卡氏积举例
- 设 \(X = \{1, 2\}\)、\(Y = \{a, b, c\}\)，则 \(X \times Y\) 有 \(2 \times 3 = 6\) 个元素，例如 \((1, a)\)、\((2, c)\)；而 \(Y \times X\) 的元素形如 \((a, 1)\)，与 \(X \times Y\) 不同。
- \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) 就是平面；\(\mathbb{R}^3\) 是空间。这是"用有序组表示点"的来源。