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1.3 函数与反函数

本节把1.2的映射语言落回到具体的函数上。函数就是"取值为实数"的映射，因此关于单射、满射、逆映射的一切结论都可以直接搬过来。

本节的实际任务是解释反三角函数：\(\sin\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不是单射，为什么还能定义 \(\arcsin\)？答案是——先限制定义域到 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)，使 \(\sin\) 变成双射，再取逆映射。这一步"限制 + 取逆"是本节的主线。最后顺带复习反三角函数的导数公式，并说明公式的成立范围（证明留到微分一章）。

前置知识
  • 映射的定义与分类：单射、满射、双射、限制
  • 复合映射与逆映射：逆映射存在的充要条件、图像关于 \(y = x\) 对称
  • 高中三角函数的定义、图像与基本恒等式：\(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\)、\(\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}\) 等
  • 导数与基本求导公式（本节只作复习，严格定义见微分一章）

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函数与反三角函数 函数的映射语言表述、反函数、反三角函数的定义域与主值区间、导数公式与推导、例题 本节全部内容，例题就在正文中

本节内容集中在一页里，不再单独设习题页：化简与求导的练习直接写在函数与反三角函数正文的例题中。

阅读顺序

  1. 先读"函数：从 \(X\) 到 \(\mathbb{R}\) 的映射"。 这一段把中学的函数概念翻译成映射，并说明"函数"这个中文译名的来历，随后给出函数图像的定义。
  2. 再读"反函数"。 关键结论是：严格单调 \(\Rightarrow\) 单射 \(\Rightarrow\) （把陪域收缩为值域后）可逆。特别要注意 \(y = x^2\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不可逆、限制到 \([0, +\infty)\) 或 \((-\infty, 0]\) 上分别得到两个不同的反函数。
  3. 然后读"反三角函数"。 把 \(\arcsin\)、\(\arccos\)、\(\arctan\)、\(\operatorname{arccot}\) 的定义域与主值区间列成表记住，并理解 \(\arcsin(\sin x) = x\) 为什么只在主值区间上成立。
  4. 最后看"导数复习"。 用反函数求导法则推导四个公式；这里只要会用，推导的严格依据（链式法则与反函数求导法则）在微分一章补上。

本节要掌握到什么程度

  • 能说出函数与映射的关系，并写出函数图像的定义；
  • 知道"严格单调 \(\Rightarrow\) 存在反函数"，也能举出反例说明反之不成立（存在反函数但不单调的函数）；
  • 能画出 \(y = \arcsin x\) 的草图，标出定义域 \([-1,1]\) 与值域 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)，并说明它与 \(\sin\) 的图像关于 \(y = x\) 对称；
  • 能写出 \(\arcsin\)、\(\arccos\)、\(\arctan\)、\(\operatorname{arccot}\) 的值域，并化简 \(\arcsin(\sin x)\) 一类的表达式；
  • 能默写四个反三角函数的导数公式，并说明 \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 只在 \((-1,1)\) 上成立（在 \(x = \pm 1\) 处不可导）；
  • 分得清 \(\arcsin x\) 与 \(\frac{1}{\sin x}\)，不再写 \(\sin^{-1} x\)。

参见