第一章 集合与映射¶
数学分析研究的对象是函数，而函数不过是映射的一种特例；要谈函数的性质（单值、反函数、复合），先要把"映射"这件事说清楚。因此本章做两件事：先把集合与映射的语言严格化，再把中学里"一个 \(x\) 对应一个 \(y\)"的直观说法改写成可以逐条核对、可以动手推导的定义。
这一章的内容看起来都是中学见过的，但要求完全不同：中学只要求会算，这里要求会写出量词、会判断性质、会证明结论。后面出现的每一个新概念（极限、连续、可导）都会被写成这种"定义 + 等价刻画"的样式，第一章就是练习这种写法的地方。
本章目录¶
| 节 | 内容 | 状态 |
|---|---|---|
| 1.1 集合 | 集合与元素、子集与相等、集合的运算、区间（高中范围）；幂集、De Morgan 律的证明、邻域、卡氏积另标超纲 | 已整理 |
| 1.2 映射 | 映射的定义、像与原像、单射 / 满射 / 双射、复合映射、逆映射 | 已整理 |
| 1.3 函数与反函数 | 函数即映射、反函数、反三角函数的定义域与主值区间、导数公式复习 | 已整理 |
| 1.4 不等式 | 绝对值与分类讨论、平方保序、\(ab \le \frac{a^2+b^2}{2}\)、三角不等式；调和 / 几何 / 算术平均与 \(H_n \le G_n \le A_n\) 的完整证明、最值应用 | 已整理 |
各节的页面¶
| 页面 | 内容 |
|---|---|
| 1.1 集合 | 本节导读与阅读顺序 |
| 集合 | 集合运算与区间（高中范围）；幂集、De Morgan 律、邻域、卡氏积另标超纲 |
| 1.2 映射 | 本节导读与阅读顺序 |
| 映射的定义与分类 | 映射、像与原像、单射 / 满射 / 双射、限制与延拓 |
| 复合映射与逆映射 | 复合、结合律、逆映射存在的充要条件、图像对称性 |
| 习题（1.2） | 映射判型、像与原像、复合与可逆的补充练习 |
| 1.3 函数与反函数 | 本节导读与阅读顺序 |
| 函数与反三角函数 | 函数的映射语言表述、反函数、\(\arcsin\) 等的定义域与导数 |
| 1.4 不等式 | 本节导读与阅读顺序 |
| 绝对值、三角不等式与两个基本不等式 | 绝对值的性质、平方保序、两个基本不等式、复数视角与欧拉公式 |
| 均值不等式 | 三种平均、\(n=2\) / \(n=2^k\) 的证明、第三步的两种补法（标签栏）、加权推广 |
| 习题（1.4） | 均值不等式的补充练习 |
学习路线¶
- 1.1 是语言的准备：把集合、运算、区间、邻域这些"说话用的词"定义一遍。这一节几乎没有难点，但符号不能含糊，尤其是 \(\in\) 与 \(\subseteq\) 的区别（\(x\) 与 \(\{x\}\) 是两个对象）。
- 1.2 是本章的核心：映射的定义靠一个"存在唯一"的量词 \(\exists!\) 支撑，由此分出单射、满射、双射三类；双射恰好是存在逆映射的充要条件，这条结论是后面讨论反函数、可逆变换的统一依据。
- 1.3 把映射落回到函数，用"限制定义域"这个动作解释反三角函数为什么必须指定主值区间，并顺带复习它们的导数公式（公式的推导要到微分一章才正式给出，这里先用反函数求导法则推导一遍）。
- 1.4 是本章唯一的"技术"内容：均值不等式 \(H_n \le G_n \le A_n\)。它的证明（先做 \(2^k\)，再用填补法推广到任意 \(n\)）是数学归纳法配合技巧的典型例子，后面估计数列与积分时反复使用。
读这一章时不要跳过例题
本章的概念都很"眼熟"，真正的检验标准是能不能自己写出定义并判断一个具体映射的类型。每节的例题都不长，建议先遮住解答自己做一遍。