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1.1 集合

本节是第一章的开头，只做语言准备：把数学分析中反复使用的集合记号（属于、包含、运算、区间）逐条写清楚。集合论是一门独立的学科，本课程不展开，本节也只列到高中所学的程度；幂集、卡氏积、De Morgan 律的证明、邻域这些超出高中范围的内容都加了超纲标记。

它本身没有难度，但不能跳过——后面所有定义都以"\(\forall x \in S\)，\(\exists x \in S\)"的形式出现，若对 \(\in\) 与 \(\subseteq\) 的区别、对区间的开闭没有把握，读后面的定义时会处处别扭。

前置知识
  • 高中数学的集合初步：元素与属于、列举法与描述法、交、并、补
  • 本节不需要任何微积分或线性代数背景

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集合 集合与元素、子集与相等、幂集、集合运算与 De Morgan 律、区间与邻域、卡氏积 本节全部内容，例题就在正文中

本节内容集中在一页里，不再单独设习题页：例题与易错点都写在集合正文中，读完正文即完成本节。

阅读顺序

  1. 先读集合的"集合与元素""子集与相等"两段。 这里定下了全书最基本的两个关系：属于（\(\in\)）与包含（\(\subseteq\)）。它们看起来像，实际上作用的对象完全不同。
  2. 再读"集合的运算"与"区间"两段。 前者给出并、交、差的定义与运算律，后者把数轴上的"一段"写成集合。
  3. 带超纲标记的部分可以跳过。 幂集、De Morgan 律的证明、邻域、卡氏积不属于本课要求；其中卡氏积是"函数图像""\(\mathbb{R}^2\)""\(\mathbb{R}^n\)"的来源，以后用到时再看也行（也可先看高等代数导论）。

本节要掌握到什么程度

本课要求（高中已学过的部分）：

  • 能分清 \(x \in A\)、\(\{x\} \subseteq A\)、\(\{x\} \in A\) 三种说法的含义，并知道哪些是错的；
  • 能写出子集、相等、并、交、差的定义，并知道证明集合相等只能靠双向包含；
  • 能写出开区间、闭区间、半开半闭区间与无穷区间；
  • 知道"补集"必须相对于某个全集才有意义。

以下是超出本课要求、带超纲标记的内容，第一遍可以跳过：

  • 幂集 \(\mathcal{P}(X)\) 与有限集幂集的元素个数 \(2^{\#X}\)（（超纲））；
  • 用元素分析法证明 De Morgan 律（（超纲））；
  • 点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域与去心邻域（（超纲），后面讲极限时才需要）；
  • 卡氏积与"函数图像"（（超纲））。

参见