第二章 数列与实数¶
本章的主题是数列极限——数学分析的核心概念。极限的严格化最终建立在实数系的完备性之上：只有先知道"该有的上确界一定存在"，才能证明"单调有界的数列一定收敛"。所以本章先讲实数系的性质（2.1），再讲数列极限（2.2 及以后）。
目前笔记只整理到 2.1 的前半部分：上界与下界的定义、上确界与下确界、以及确界存在定理的陈述；定理的证明要下一节才给出。2.2 及以后的内容尚未开始，下表如实标为"待补"。
本章目录¶
| 节 | 内容 | 状态 |
|---|---|---|
| 2.1 实数的完备性 | \(\varepsilon\) 不等式引理、上界的定义、上确界（最小上界）的定义与唯一性、确界存在定理的陈述 | 部分整理（整理到上确界定义为止；下确界等超出本课要求的内容已标超纲） |
| 2.2 数列极限及以后 | 数列极限的定义与性质、单调有界定理、Cauchy 收敛准则、致密性定理 | 待补 |
2.1 实数的完备性¶
| 页面 | 内容 |
|---|---|
| 本节导读 | 本节路线、学习目标、与第一章的衔接 |
| 上界、下界与确界 | \(\varepsilon\) 引理、上界的定义、\(\sup\) 的定义与 \(\varepsilon\) 刻画、唯一性；下确界与运算性质等另标超纲 |
| 确界存在定理 | 定理陈述与"为什么需要实数"的动机；\(\mathbb{Q}\) 的空隙与三条推论另标超纲 |
| 习题 | 自拟练习题 6 道，解答默认折叠 |
学习路线¶
- 先补一个 \(\varepsilon\) 的工具。 在讲上确界之前先给出 \(a \le b \iff \forall \varepsilon > 0,\ a < b + \varepsilon\)，并说明这是分析里最常用的"变形"之一；它是理解后面一切 \(\varepsilon\) 语言的地基。
- 上界的定义与"上界不唯一"。 上界是"比集合中每个元素都大"的数；比一个上界大的数仍是上界，所以上界有无穷多个，这才有必要挑出最小的那一个。
- 上确界的定义与唯一性。 上确界＝最小上界：它是上界，而且小一点就不再是上界。本课最后留下的话是"上确界存在而且唯一"——唯一性当时可以证，存在性（确界存在定理）的证明留到下一节。
- 回头看 \(\mathbb{Q}\)（可选）。 用 \(\{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\}\) 说明完备性不是"有序域"的自动结论；这一段超出本课要求，笔记里标了超纲。