数学笔记¶
这里是我在数学系本科阶段整理的课程笔记，目前包含高等代数与数学分析两门。编排参考 OI Wiki：先交代前置知识，再依次给出定义、定理、证明、例题，把易错点与思考题单独列出。
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分册¶
- 高等代数
研究线性结构：数域、矩阵、向量空间、线性变换。目前整理到第一章。
研究极限，以及建立在极限之上的连续、微分、积分与级数。
阅读说明¶
- 页面中的定义、定理、证明、例题、易错点分别用带标题的提示框标出，正文只承担叙述与串联；解答默认折叠，建议先自己写一遍。
- 每一处超出本课要求的内容都加了超纲标记：教材后续章节、独立学科、课外推广、为完整而补的严格证明等，统一用
!!! quote "超纲（可跳过）"标出，并在正文里说明它属于哪一类。第一遍阅读可以直接跳过这些块。 - 数学公式由 KaTeX 渲染。公式样式表与脚本从 CDN 加载，因此首次打开页面时需要联网；离线时正文与记号仍可阅读，但公式会显示为源码。
- 每页右上角有本页目录，顶部标签页切换分册，站点左上角提供全站搜索（支持中文）。
记号约定¶
下表是全站通用记号。各分册还会引入自己的记号（例如高等代数里的 \(\mathbb{F}_2\)、\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)、群的阶），均在正文首次出现处定义。
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| \(\mathbb{N}, \mathbb{N}^{*}\) | 自然数集（本笔记约定 \(0\) 是自然数）、正整数集 |
| \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) | 整数集、有理数域、实数域、复数域 |
| \(A \subseteq B\) / \(A \subsetneq B\) | 包含 / 真包含 |
| \(\#X\) | 集合 \(X\) 的元素个数 |
| \(\varnothing\) | 空集 |
| \(\iff\) | 当且仅当 |
| \(a \mid b\) | \(a\) 整除 \(b\) |
| \(\sum, \prod\) | 连加号、连乘号 |
| \(\forall, \exists\) | 对任意、存在 |
高等代数专用记号¶
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| \(\mathbb{F}_2\) | 二元域 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) |
| \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) | 模 \(n\) 的商群：\(\mathbb{Z}\) 按模 \(n\) 同余分成的 \(n\) 个等价类，写作 \(\{[0], [1], \dots, [n-1]\}\) |
| \(X / R\) | 集合 \(X\) 关于等价关系 \(R\) 的商集 |
| \([x]_R,\ [x]\) | \(x\) 关于 \(R\) 的等价类（通常简记为 \([x]\)；有的教材写作 \(\overline{x}\)） |
| \(\bigsqcup_{i \in I} X_i\) | 不交并（无交并）：各 \(X_i\) 两两不交且并为 \(X\)；划分即"\(X\) 是各块的不交并" |
| \(\lvert G \rvert\) | 群 \(G\) 的阶，即 \(G\) 的元素个数 |
| \(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\) | 由 \(\mathbb{Q}\) 与 \(\sqrt{p}\) 生成的数域 |
| \(i_1 i_2 \cdots i_n\) | \(n\) 阶排列，即由 \(1, 2, \dots, n\) 组成的有序数组 |
| \(\tau(i_1 i_2 \cdots i_n)\) | 排列 \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 的逆序数 |
| \((p\ q)\) | 一次对换：互换第 \(p\) 位与第 \(q\) 位上的数 |
| \(\det A\) | \(n\) 阶方阵 \(A\) 的行列式，\(n\) 阶行列式也记作 \(D\) |
| \(D_j\) | 把行列式 \(D\) 的第 \(j\) 列换成常数项所得的行列式 |
"元素个数"用了两种记号，各有各的语境，不是笔误：
- \(\#X\) 用于一般集合的计数，例如"\(X\) 上共有 \(2^{n^2}\) 个二元关系"；
- \(\lvert G \rvert\) 专用于群的阶，这是群论的通用写法，与元素的阶、子群的指数等记号配套。
两者含义完全相同，只是分别沿用了组合计数与群论两个领域的习惯。