数学分析¶
数学分析研究的是极限——以及建立在极限之上的连续、微分、积分与级数。如果说高等代数的主题是"结构"，那么数学分析的主题就是"逼近"：用一个越来越近的序列去定义本来无法直接算出的量。
整门课的骨架大致是这样一条链：
\[
\text{实数} \longrightarrow \text{极限} \longrightarrow \text{连续} \longrightarrow \text{微分} \longrightarrow \text{积分} \longrightarrow \text{级数}
\]
每一步都以前一步为地基：没有极限就定义不了连续，没有连续就证不了中值定理，没有中值定理就推不出微积分基本定理，而没有极限的严格化，级数就只是一堆形式记号。
与高等代数的分工¶
| 高等代数 | 数学分析 | |
|---|---|---|
| 研究对象 | 线性结构：空间、变换、矩阵 | 函数与极限：逼近、变化率、累积量 |
| 主要工具 | 定义逐条核对、结构分类 | 不等式估计、\(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言 |
| 典型问法 | "这个集合是不是子空间？" | "这个极限是否存在？" |
两门课会互相借用工具：数学分析里解线性方程组、讨论二次型要用高代；高代里求行列式、讨论收敛性要用分析。笔记按各自的分册独立整理，交叉处互相链接。
目录¶
| 部分 | 内容 | 状态 |
|---|---|---|
| 第一章 集合与映射 | 集合、映射、单射 / 满射 / 双射、复合与逆映射、函数与反三角函数、均值不等式 | 已整理 |
| 第二章 数列与实数 | 2.1 实数的完备性：上界与下界、上确界与下确界、确界存在定理 | 部分整理（定理证明待补） |
| 极限 | 数列极限的定义与性质、单调有界定理、Cauchy 收敛准则、函数极限、无穷小与无穷大 | 待整理 |
| 连续 | 连续函数、闭区间上的性质、一致连续 | 待整理 |
| 微分 | 导数、微分、中值定理、Taylor 公式 | 待整理 |
| 积分 | 不定积分、定积分、微积分基本定理、反常积分 | 待整理 |
| 级数 | 数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier 级数 | 待整理 |
| 多元部分 | 多元极限与连续、偏导数、重积分 | 待整理 |
各章的页面¶
第一章 集合与映射¶
| 节 | 页面 |
|---|---|
| 1.1 集合 | 本节导读 · 集合 |
| 1.2 映射 | 本节导读 · 映射的定义与分类 · 复合映射与逆映射 · 习题 |
| 1.3 函数与反函数 | 本节导读 · 函数与反三角函数 |
| 1.4 不等式 | 本节导读 · 绝对值、三角不等式与两个基本不等式 · 均值不等式 · 习题 |
第二章 数列与实数¶
| 节 | 页面 |
|---|---|
| 2.1 实数的完备性 | 本节导读 · 上界、下界与确界 · 确界存在定理 · 习题 |
关于整理进度
第二章目前只整理到 2.1 的前半段。其中确界存在定理本身（"非空有上界的实数子集必有上确界"）本课只给出陈述，证明留待下一节；笔记如实标明「证明待补」，没有代写证明。下确界、确界的运算性质、阿基米德性质、有理数稠密性等内容超出本课要求，笔记里一并加了超纲标记。
关于超纲标记¶
本分册以教材主线为准整理：本课要求的内容按"定义 → 命题 → 证明 → 例题"写全；超出本课要求的内容统一加标记，方便第一遍阅读时跳过。
超纲（可跳过）
这是全站统一的超纲标记，用于三类内容：
- 教材后续章节才会讲到的：下确界、确界的运算性质、由确界存在定理推出阿基米德性质与有理数稠密性、有限集的计数等；
- 属于独立学科或独立理论、本课程不展开的：集合论本身、幂集与卡氏积、De Morgan 律的证明等；
- 课外推广，或为完整而补的严格证明：加权均值不等式、幂平均与平方平均、反向归纳、复合映射、像集与原像的性质、反函数求导法则的推导等。
标了"超纲"只表示不是本课要求，不代表内容有错或不重要：第一遍可以跳过，需要时再回来。落在列表项上的零散内容，在该项末尾加 **（超纲）**。
数学分析专用记号¶
全站通用记号见首页。以下是本分册常用的补充记号，均在正文首次出现处定义。
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| \(f: X \to Y\) | 从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射 |
| \(\operatorname{dom} f\)、\(\operatorname{Im} f\) | 映射的定义域、值域（像） |
| \(f(A)\)、\(f^{-1}(B)\) | 集合 \(A\) 的像集、集合 \(B\) 的原像集 |
| \(f^{-1}\) | 逆映射（只在 \(f\) 是双射时才有） |
| \(f\lvert_A\) | \(f\) 在 \(A\) 上的限制 |
| \((a, b)\)、\([a, b]\) | 开区间、闭区间 |
| \(U(a, \delta)\)、\(\mathring{U}(a, \delta)\) | 点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域、去心 \(\delta\) 邻域 |
| \(\sup S\)、\(\inf S\) | 集合 \(S\) 的上确界、下确界 |
| \(A_n\)、\(G_n\)、\(H_n\)、\(Q_n\) | \(n\) 个正数的算术、几何、调和、平方平均 |
| \(\lvert x \rvert\) | 实数 \(x\) 的绝对值 |
记号的两处易混点，正文中反复强调：
- \(f^{-1}(B)\) 与 \(f^{-1}\) 不是一回事：前者是原像集，任何映射都有；后者是逆映射，要求 \(f\) 是双射；
- \(\sup\) 与 \(\max\) 不能混用：上确界可以不属于集合（例如 \(\inf\{\, 1/n \mid n \in \mathbb{N}^{*} \,\} = 0\) 取不到），只有当它恰好落在集合里时才等于最大值。