上界、下界与确界

本页面介绍上界、下界与确界（上确界、下确界）。这几个概念是刻画实数系完备性的语言：只有先能说出"某个集合的最紧上界是什么"，才可能把"实数轴上没有空隙"这句话写成一个定理。

本页处理的都是由定义直接可证的内容——定义、唯一性、与最值的关系、几条运算性质。至于"非空有上界的集合一定有最紧上界"（确界存在定理），那是实数系的性质而不是定义的结果，见确界存在定理。

前置知识

• 实数的大小关系与有序性：\(\mathbb{R}\) 是有序域，\(x \le y\) 与 \(y \le x\) 同时成立时 \(x = y\)
• 1.1 集合：子集、空集 \(\varnothing\)、集合构造式 \(\{\, x \mid P(x) \,\}\)
• 区间与邻域：\((a, b)\)、\([a, +\infty)\)、\(U(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon)\)

超纲（可跳过）

本页的分工：本课要求的是——\(\varepsilon\) 引理、上界的定义、"上界不唯一"、上确界的定义（最小上界）、上确界唯一。

标为超纲的是：下界与"有界"的对称定义、下确界、确界与最值的关系、确界的运算性质、无界集与空集的确界约定、以及页末的例题。它们是为完整性补上的教材内容，第一遍可以跳过。

引入

初等数学里有一个常问的问题："这个集合的最大值是多少？"但对许多集合，答案是没有最大值：

• \(S = (0, 1)\)：任何 \(x \in S\) 都不够大，因为 \(\dfrac{x + 1}{2} \in S\) 比它更大；
• \(S = \{\, \frac1n \mid n \in \mathbb{N}^{*} \,\}\)：最大值有（\(n = 1\) 时取到 \(1\)），但最小值不存在——比 \(0\) 小的元素没有，\(0\) 自己又不在 \(S\) 里；
• \(S = \{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\}\)：在 \(\mathbb{Q}\) 中连"最紧的上界"都找不到，这件事见确界存在定理。

可这些集合确实都"卡"在某个数的一侧，而且卡得越来越紧：\((0, 1)\) 卡在 \(1\) 下面，\(\{1/n\}\) 往下卡在 \(0\) 上面。把这种"最紧的界"写成定义，就不再需要"最大值存在"这个前提，也能谈论集合的边界位置。例如在 \(\mathbb{R}\) 中

\[ \sqrt 2 = \sup \{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\}, \]

即 \(\sqrt 2\) 是那个集合在 \(\mathbb{R}\) 中的最紧上界——尽管 \(\sqrt 2\) 不属于这个集合，也不属于 \(\mathbb{Q}\)。

上界不唯一是这套语言的关键：比一个上界大的数仍然是上界，所以"某个数是上界"本身不携带多少信息，只有"最小的上界"才是集合的固有属性。

预备：关于 \(\varepsilon\) 的一个等价说法

在讲上确界之前，先补一个关于 \(\varepsilon\) 的不等式引理：它说明“为什么以后总写 \(\forall \varepsilon > 0\)”，是本节的第一个工具。

命题（\(a \le b\) 与 \(\forall \varepsilon > 0,\ a < b + \varepsilon\) 等价）

设 \(a, b \in \mathbb{R}\)。则

\[ a \le b \iff \forall \varepsilon > 0,\ a < b + \varepsilon . \]

证明

（\(\Rightarrow\)） 设 \(a \le b\)。对任意 \(\varepsilon > 0\) 有 \(b < b + \varepsilon\)，于是 \(a \le b < b + \varepsilon\)，即 \(a < b + \varepsilon\)。

（\(\Leftarrow\)） 反证法。设对任意 \(\varepsilon > 0\) 都有 \(a < b + \varepsilon\)，但 \(a > b\)。取

\[ \varepsilon_0 = a - b > 0 , \]

则 \(b + \varepsilon_0 = a\)，与 \(a < b + \varepsilon_0\) 矛盾。故 \(a \le b\)。

为什么以后总写 \(\forall \varepsilon > 0\)

这条引理把"\(a \le b\)"这种含等号的结论，换成了"对每个正数 \(\varepsilon\) 都有严格不等式"这种更容易验证的形式：只要对任意给定的 \(\varepsilon\) 都能把 \(a\) 压到 \(b + \varepsilon\) 以下，就说明 \(a\) 不可能比 \(b\) 大。它常被称为分析里最常用的"变形"之一，后面证明上确界的 \(\varepsilon\) 刻画、极限的唯一性时反复使用。

上界与下界

定义（上界、下界）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(\beta, \alpha \in \mathbb{R}\)。

1. 若

   \[ \forall x \in S,\quad x \le \beta, \]

   则称 \(\beta\) 是 \(S\) 的一个上界，并称 \(S\) 有上界（上方有界）；若不存在这样的实数，则称 \(S\) 无上界。

2. 若

   \[ \forall x \in S,\quad x \ge \alpha, \]

   则称 \(\alpha\) 是 \(S\) 的一个下界，并称 \(S\) 有下界（下方有界）。

3. 若 \(S\) 既有上界又有下界，则称 \(S\) 有界；否则称 \(S\) 无界。

按定义，\(S\) 无上界就是：对任意 \(\beta \in \mathbb{R}\)，都存在 \(x \in S\) 使 \(x > \beta\)。

定义只要求"存在一个上界"，不要求它是最小的。因此一个集合若有上界，就有无穷多个上界：\(\beta\) 是上界、\(\beta'' \ge \beta\) 时 \(\beta''\) 也是上界。

命题（有界的等价刻画）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空。则

\[ S \text{ 有界} \iff \exists M > 0,\ \forall x \in S,\ \lvert x \rvert \le M . \]

证明

（\(\Rightarrow\)） 设 \(S\) 有界，取 \(S\) 的一个上界 \(\beta\) 与一个下界 \(\alpha\)，令

\[ M = \max\{\lvert \alpha \rvert,\ \lvert \beta \rvert\} + 1 . \]

则 \(M > 0\)。对任意 \(x \in S\)，由 \(\alpha \le x \le \beta\) 得

\[ -\lvert \alpha \rvert \le \alpha \le x \le \beta \le \lvert \beta \rvert, \]

故 \(\lvert x \rvert \le \max\{\lvert \alpha \rvert, \lvert \beta \rvert\} < M\)，特别地 \(\lvert x \rvert \le M\)。

（\(\Leftarrow\)） 设存在 \(M > 0\) 使一切 \(x \in S\) 满足 \(\lvert x \rvert \le M\)，即 \(-M \le x \le M\)。于是 \(M\) 是 \(S\) 的上界、\(-M\) 是 \(S\) 的下界，故 \(S\) 有界。

例（几个典型集合的上界与下界）

1. \(S = (0, 1)\)。上界全体是 \([1, +\infty)\)，下界全体是 \((-\infty, 0]\)；\(S\) 有界，既没有最大值也没有最小值。
2. \(S = \mathbb{N}^{*} = \{1, 2, 3, \dots\}\)。下界全体是 \((-\infty, 1]\)（\(1\) 是最小的下界，也是 \(S\) 的最小元），而 \(S\) 没有上界，故 \(S\) 无界。
3. \(S = \{\, \frac1n \mid n \in \mathbb{N}^{*} \,\} = \{1, \frac12, \frac13, \dots\}\)。上界全体是 \([1, +\infty)\)，下界全体是 \((-\infty, 0]\)，\(S\) 有界；\(1\) 是最大值，最小值不存在。

第 1、3 例说明：上界（下界）不一定是集合的元素——\((0, 1)\) 的 \(1\) 与 \(0\)、\(\{\frac1n\}\) 的 \(0\) 都不属于相应的集合；界只是用来"夹住"集合的数。第 2 例说明"有界"必须两头都有。

上确界与下确界

上界有无穷多个，所以"是上界"这个性质太弱，没有刻画集合的边界位置。把它加强为"最小的上界"，就得到本节最重要的定义。

定义（上确界）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(\beta \in \mathbb{R}\)。若

1. \(\beta\) 是 \(S\) 的上界：

   \[ \forall x \in S,\quad x \le \beta ; \]

2. 任何比 \(\beta\) 小的数都不是 \(S\) 的上界：

   \[ \forall \beta' < \beta,\ \exists x \in S,\quad x > \beta' , \]

则称 \(\beta\) 是 \(S\) 的上确界，记作 \(\beta = \sup S\)，并说 \(\beta\) 是 \(S\) 的最小上界。

记 \(U(S)\) 为 \(S\) 的一切上界组成的集合。则条件 1 说的是 \(\beta \in U(S)\)，条件 2 说的是：若 \(\beta'' \in U(S)\)，则不能有 \(\beta'' < \beta\)，即 \(\beta \le \beta''\)。两条合起来正是

\[ \beta = \min U(S), \]

也就是"\(\beta\) 是 \(S\) 的上界全体中最小的那一个"。注意 \(U(S)\) 非空当且仅当 \(S\) 有上界；而 \(\sup S\) 存在当且仅当 \(U(S)\) 有最小元——这件事不是白给的，它正是确界存在定理的内容。

命题（上确界的 \(\varepsilon\) 刻画）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(\beta \in \mathbb{R}\)。则 \(\beta = \sup S\) 当且仅当

1. \(\forall x \in S,\ x \le \beta\)；
2. \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in S,\ x > \beta - \varepsilon\)。

证明

只需说明条件 2 与上确界定义中的第 2 条等价。

• 设定义中的第 2 条成立。取任意 \(\varepsilon > 0\)，令 \(\beta' = \beta - \varepsilon\)，则 \(\beta' < \beta\)，由定义的第 2 条存在 \(x \in S\) 使 \(x > \beta' = \beta - \varepsilon\)，即条件 2 成立。
• 设条件 2 成立。取任意 \(\beta' < \beta\)，令 \(\varepsilon = \beta - \beta' > 0\)，由条件 2 存在 \(x \in S\) 使 \(x > \beta - \varepsilon = \beta'\)，即定义的第 2 条成立。

两种写法说的是同一件事：不管把上界往下压多少（压 \(\varepsilon\)），都会有集合里的元素冒出来。往后一律使用 \(\varepsilon\) 刻画，因为它把"任何 \(\beta' < \beta\)"这种全称叙述换成了更容易操作的"任取 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(x\)"。

图 1 是这套定义在数轴上的样子：\(S\) 的点自左侧逼近 \(\beta\)，而上界全体恰好是从 \(\beta\) 向右的一条射线。

图 1：上确界是最小上界。$\beta$ 右边的每个数都是 $S$ 的上界，它们组成射线 $[\beta, +\infty)$；$\beta$ 是这条射线最左端的点，所以是最小上界。$\beta$ 本身可以不属于 $S$（图中画成空心圈）。若换成更小的 $\beta'$，$S$ 中就有元素落在它右边，故 $\beta'$ 不是上界。

超纲（可跳过）

下确界不在本课要求内：它的定义、\(\varepsilon\) 刻画与 \(\alpha = \max L(S)\) 的说法都是上确界的对称翻版，这里补上只为对照。

定义（下确界）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(\alpha \in \mathbb{R}\)。若

1. \(\alpha\) 是 \(S\) 的下界：

   \[ \forall x \in S,\quad x \ge \alpha ; \]

2. 任何比 \(\alpha\) 大的数都不是 \(S\) 的下界：

   \[ \forall \alpha' > \alpha,\ \exists x \in S,\quad x < \alpha' , \]

则称 \(\alpha\) 是 \(S\) 的下确界，记作 \(\alpha = \inf S\)，并说 \(\alpha\) 是 \(S\) 的最大下界。

把 \(\varepsilon\) 刻画照搬过来（把 \(\le\) 换成 \(\ge\)、把 \(\beta - \varepsilon\) 换成 \(\alpha + \varepsilon\)）：\(\alpha = \inf S\) 当且仅当

1. \(\forall x \in S,\ x \ge \alpha\)；
2. \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in S,\ x < \alpha + \varepsilon\)。

同样地，记 \(L(S)\) 为 \(S\) 的一切下界组成的集合，则 \(\alpha = \inf S\) 等价于

\[ \alpha = \max L(S). \]

命题（确界的唯一性）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空。若 \(S\) 有上确界，则上确界唯一；若 \(S\) 有下确界，则下确界唯一。

证明

只证上确界，下确界把不等号全部反向即可。

设 \(\beta_1, \beta_2\) 都是 \(S\) 的上确界。

• 由 \(\beta_1\) 是 \(S\) 的上界，而 \(\beta_2\) 是 \(S\) 的最小上界，得

  \[ \beta_2 \le \beta_1 ; \]

• 对称地，由 \(\beta_2\) 是 \(S\) 的上界、\(\beta_1\) 是最小上界，得

  \[ \beta_1 \le \beta_2 . \]

实数的大小关系满足"\(x \le y\) 且 \(y \le x\) 推出 \(x = y\)"，故 \(\beta_1 = \beta_2\)。

唯一性说明记号 \(\sup S\)、\(\inf S\) 是良定义的：只要存在，就只有一个。所以往后写"\(S\) 的上确界"不会产生歧义。

证明 \(\sup S = \beta\) 的固定套路

证"某个数是某集合的最紧上界"永远是两步，与上确界定义的两条一一对应：

1. 证 \(\beta\) 是上界：对任意 \(x \in S\)，由已知条件推出 \(x \le \beta\)。常用手法是把 \(x\) 写成一个明显的式子后再放缩。

2. 证 \(\beta\) 是最小上界，即对任意 \(\varepsilon > 0\) 构造出 \(x \in S\) 使

   \[ x > \beta - \varepsilon . \]

   这一步的关键是把 \(x\) 具体取出来（取某个 \(n\)、某个 \(m\)、某个中点、某个 \(\beta - \delta\)……），并且说明它确实属于 \(S\)。只说"显然存在"通常不算证完。

下确界完全对称：先证 \(\alpha\) 是下界，再对任意 \(\varepsilon > 0\) 取出 \(x \in S\) 使 \(x < \alpha + \varepsilon\)。

确界与最值的关系

超纲（可跳过）

下面关于 \(\sup S\) 与 \(\max S\) 的三条关系，以及空集与无界集的确界约定，都是教材内容，超出本课要求。

最大值、最小值是从集合内部看的（那个点要在集合里），确界是从集合外部看的（那个点可以不在了）。两者关系如下。

命题（确界与最值的关系）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，且 \(S\) 的上确界与下确界都存在。

1. 若 \(\sup S \in S\)，则 \(\sup S = \max S\)；若 \(\inf S \in S\)，则 \(\inf S = \min S\)。
2. 若 \(\max S\) 存在，则 \(\sup S = \max S\)；若 \(\min S\) 存在，则 \(\inf S = \min S\)。
3. 由此，\(\sup S \in S\) 当且仅当 \(\max S\) 存在；\(\inf S \in S\) 当且仅当 \(\min S\) 存在。
4. 但 \(\sup S\) 与 \(\inf S\) 都可能不属于 \(S\)（见下面的易错点）。

证明

第 1 条。 设 \(\sup S \in S\)。由上确界的定义，\(\sup S\) 是 \(S\) 的上界，故对一切 \(x \in S\) 有 \(x \le \sup S\)；而 \(\sup S\) 本身属于 \(S\)，所以它是 \(S\) 的最大元，即 \(\sup S = \max S\)。下确界同理。

第 2 条。 设 \(m = \max S\) 存在。则 \(m\) 是 \(S\) 的上界；又若 \(\beta' < m\)，则 \(\beta' < m\) 而 \(m \in S\)，故 \(\beta'\) 不是 \(S\) 的上界。于是 \(m\) 满足上确界定义的两条，\(\sup S = m = \max S\)。最小值同理。

第 3 条。 "\(\Leftarrow\)" 由第 2 条：最大值存在时 \(\sup S = \max S \in S\)；"\(\Rightarrow\)" 由第 1 条：\(\sup S \in S\) 时它就是 \(S\) 的最大元，最大值存在。

第 4 条 只需举出例子，见下面的易错点。

一句话：确界一定存在时，它与最值重合当且仅当那个点落在集合里。

易错点：上确界不一定属于集合

• \(S = \{\, \frac1n \mid n \in \mathbb{N}^{*} \,\}\)：

  \[ \sup S = 1 = \max S \in S, \qquad \inf S = 0 \notin S, \]

  这里 \(S\) 有最大值而没有最小值。

• \(S = (0, 1)\)：

  \[ \sup S = 1 \notin S, \qquad \inf S = 0 \notin S, \]

  \(S\) 既没有最大值也没有最小值。

• \(S = \{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\}\)：把它看成 \(\mathbb{Q}\) 的子集时，它在 \(\mathbb{Q}\) 中根本没有上确界；把它看成 \(\mathbb{R}\) 的子集时

  \[ \sup S = \sqrt 2 \notin \mathbb{Q} . \]

  上确界跑到了集合所在的数系之外——这正是要引入完备性的原因，详见确界存在定理。

一句话：\(\sup S\) 描述集合的边界位置，\(\max S\) 描述集合里有那个点，两件事完全不同，不能互相替换。

约定（无上界、无下界与空集的确界）

为了使公式统一，约定

• \(S\) 无上界时记 \(\sup S = +\infty\)，无下界时记 \(\inf S = -\infty\)；
• \(\sup \varnothing = -\infty\)，\(\inf \varnothing = +\infty\)。

这里 \(+\infty\)、\(-\infty\) 只是形式记号，不是实数，也没有把 \(\mathbb{R}\) 扩充成"含无穷大的数系"（那样会破坏许多运算律）。约定只是为了少写几句例外。

为什么空集的上确界不能取某个实数值？对任意 \(\beta \in \mathbb{R}\)，命题"\(\forall x \in \varnothing,\ x \le \beta\)"是空真命题，所以每个实数都是 \(\varnothing\) 的上界：

\[ U(\varnothing) = \{\, \beta \in \mathbb{R} \mid \beta \text{ 是 } \varnothing \text{ 的上界} \,\} = \mathbb{R} . \]

而 \(\mathbb{R}\) 没有最小元（对任意 \(\beta \in \mathbb{R}\)，\(\beta - 1 < \beta\) 仍是实数），所以 \(\sup \varnothing\) 不能是任何实数。规定 \(\sup \varnothing = -\infty\) 之后，像"\(A \subseteq B\) 推出 \(\sup A \le \sup B\)"、"\(\sup (A \cup B) = \max\{\sup A, \sup B\}\)"这样的公式在出现空集时也不必再打补丁。

确界的运算性质

超纲（可跳过）

下确界的运算性质（单调性、数乘、取负）以及它们与上确界的对照推导都不在本课要求内，是为完整性补上的，第一遍可以跳过。

下面三条都由定义直接验证。证明的固定模式是：先说明某数是（上/下）界，再用 \(\varepsilon\) 刻画说明它是最紧的那个；而 \(\varepsilon\) 那一步的关键永远是"存在某个 \(x \in S\)"。

命题（单调性）

设 \(A, B \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(A \subseteq B\)。若 \(A\)、\(B\) 的上确界都存在，则

\[ \sup A \le \sup B ; \]

若两者的下确界都存在，则

\[ \inf A \ge \inf B . \]

证明

记 \(\beta = \sup B\)。\(\beta\) 是 \(B\) 的上界，即对一切 \(y \in B\) 有 \(y \le \beta\)；而 \(A \subseteq B\)，故对一切 \(x \in A\) 也有 \(x \le \beta\)，即 \(\beta\) 是 \(A\) 的上界。又 \(\sup A\) 是 \(A\) 的最小上界，故

\[ \sup A \le \beta = \sup B . \]

下确界把不等号反向：\(\inf B\) 是 \(B\) 的下界，故也是 \(A\) 的下界，而 \(\inf A\) 是 \(A\) 的最大下界，故 \(\inf A \ge \inf B\)。

这条是三条性质中唯一不需要 \(\varepsilon\) 刻画的：只要一个数是 \(B\) 的上界，它就自动是 \(A \subseteq B\) 的上界，"最小"的资格可以直接比较出来。

直观上：集合越大，上界只能越松、下界只能越低。

命题（数乘）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空，\(\sup S\) 与 \(\inf S\) 都存在，\(c \in \mathbb{R}\)。记

\[ cS = \{\, cx \mid x \in S \,\} . \]

则

1. \(c > 0\) 时 \(\sup (cS) = c \sup S\)；
2. \(c < 0\) 时 \(\sup (cS) = c \inf S\)。

证明

（1）设 \(c > 0\)，记 \(\beta = \sup S\)。

• \(c\beta\) 是 \(cS\) 的上界。 对任意 \(x \in S\) 有 \(x \le \beta\)，两边乘 \(c > 0\) 得 \(cx \le c\beta\)；而 \(cS\) 的元素都形如 \(cx\)（\(x \in S\)），故 \(c\beta\) 是上界。

• \(c\beta\) 是最小上界。 取任意 \(\varepsilon > 0\)，则 \(\varepsilon / c > 0\)。由 \(\beta = \sup S\) 的 \(\varepsilon\) 刻画，存在 \(x \in S\) 使 \(x > \beta - \varepsilon / c\)。两边乘 \(c > 0\)：

  \[ cx > c\beta - \varepsilon , \]

  而 \(cx \in cS\)，故 \(c\beta - \varepsilon\) 不是 \(cS\) 的上界。

两条合起来即得 \(\sup (cS) = c\beta = c \sup S\)。

（2）设 \(c < 0\)，记 \(\alpha = \inf S\)。

• \(c\alpha\) 是 \(cS\) 的上界。 对任意 \(x \in S\) 有 \(x \ge \alpha\)；两边乘负数 \(c\) 时不等号反向，得 \(cx \le c\alpha\)，故 \(c\alpha\) 是 \(cS\) 的上界。

• \(c\alpha\) 是最小上界。 取任意 \(\varepsilon > 0\)，则 \(\varepsilon' = -\varepsilon / c > 0\)。由 \(\alpha = \inf S\) 的 \(\varepsilon\) 刻画，存在 \(x \in S\) 使 \(x < \alpha + \varepsilon'\)。两边乘 \(c < 0\)：

  \[ cx > c\alpha + c\varepsilon' = c\alpha - \varepsilon , \]

  而 \(cx \in cS\)，故 \(c\alpha - \varepsilon\) 不是 \(cS\) 的上界。

故 \(\sup (cS) = c\alpha = c \inf S\)。

注意 \(c < 0\) 时"取上确界"被换成了"取下确界"：乘负数把集合整个翻了个身，最大与最小互换。另外 \(c = 0\) 时 \(cS = \{0\}\)，\(\sup (cS) = 0 = 0 \cdot \sup S\)，结论也成立。

命题（取负）

设 \(S \subseteq \mathbb{R}\) 非空且 \(\sup S\)、\(\inf S\) 都存在。记

\[ -S = \{\, -x \mid x \in S \,\} . \]

则

\[ \sup (-S) = -\inf S, \qquad \inf (-S) = -\sup S . \]

证明

记 \(\alpha = \inf S\)。

• \(-\alpha\) 是 \(-S\) 的上界。 对任意 \(x \in S\) 有 \(x \ge \alpha\)，故 \(-x \le -\alpha\)；而 \(-S\) 的元素都形如 \(-x\)，所以 \(-\alpha\) 是上界。

• \(-\alpha\) 是最小上界。 取任意 \(\varepsilon > 0\)，由 \(\alpha = \inf S\) 的 \(\varepsilon\) 刻画，存在 \(x \in S\) 使 \(x < \alpha + \varepsilon\)，于是

  \[ -x > -\alpha - \varepsilon , \]

  而 \(-x \in -S\)，故 \(-\alpha - \varepsilon\) 不是 \(-S\) 的上界。

所以 \(\sup (-S) = -\alpha = -\inf S\)。再把这条结论用在集合 \(-S\) 上（注意 \(-(-S) = S\)）：由 \(\sup \bigl(-(-S)\bigr) = -\inf (-S)\) 得 \(\sup S = -\inf (-S)\)，即

\[ \inf (-S) = -\sup S . \]

这两条说的是同一件事：把集合关于原点对称翻过去，上确界与下确界互换位置并变号。

例题

例题 1

求

\[ S = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2 \,\} \]

的 \(\sup\) 与 \(\inf\)，并说明它们是否属于 \(S\)。

解 先注意 \(\sqrt 2 \in \mathbb{R}\)、\(\sqrt 2 > 0\)、\((\sqrt 2)^2 = 2\)。由

\[ x^2 < 2 \iff \lvert x \rvert < \sqrt 2 \iff -\sqrt 2 < x < \sqrt 2 \]

得

\[ S = (-\sqrt 2,\ \sqrt 2) . \]

\(\sup S = \sqrt 2\)。

• \(\sqrt 2\) 是上界：若 \(x \in S\)，则 \(x < \sqrt 2\)。

• \(\sqrt 2\) 是最小上界：取任意 \(\varepsilon > 0\)。

  • 若 \(\varepsilon \ge \sqrt 2\)，取 \(x = 0\)，则 \(x \in S\) 且 \(x = 0 > \sqrt 2 - \varepsilon\)；

  • 若 \(0 < \varepsilon < \sqrt 2\)，取 \(x = \sqrt 2 - \varepsilon / 2\)。则 \(x < \sqrt 2\)，且

    \[ x^2 = 2 - \sqrt 2\,\varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{4} < 2 - \sqrt 2\,\varepsilon + \sqrt 2\,\varepsilon = 2 , \]

    其中用了由 \(\varepsilon < \sqrt 2\) 推出的 \(\dfrac{\varepsilon^2}{4} < \dfrac{\sqrt 2\,\varepsilon}{4} < \sqrt 2\,\varepsilon\)。故 \(x \in S\)；又 \(x = \sqrt 2 - \varepsilon/2 > \sqrt 2 - \varepsilon\)。

两种情形都取到了所需的 \(x \in S\)，所以 \(\sup S = \sqrt 2\)。

\(\inf S = -\sqrt 2\)。 注意 \(S\) 关于原点对称，即 \(-S = S\)。由取负的运算性质，

\[ \inf S = \inf (-S) = -\sup S = -\sqrt 2 . \]

两者都不属于 \(S\)。 \((\pm \sqrt 2)^2 = 2\)，不满足 \(x^2 < 2\)，故 \(\pm \sqrt 2 \notin S\)。于是 \(S\) 既没有最大值也没有最小值。

说明 第 2 步之所以要分 \(\varepsilon\) 的大小，是因为小 \(\varepsilon\) 时 \(\sqrt 2 - \varepsilon/2\) 已经足够靠近 \(\sqrt 2\)，而大 \(\varepsilon\) 时这个数会跑到负半轴上去（不再是 \(S\) 的元素）。做题时若不想分类，也可以照习题第 2 题的做法，取 \(\delta = \min\{\varepsilon/2,\ \sqrt 2/2\}\)，再令 \(x = \sqrt 2 - \delta\)。

例题 2

求

\[ S = \left\{\, \frac1n - \frac1m \;\middle|\; n, m \in \mathbb{N}^{*} \,\right\} \]

的 \(\sup\) 与 \(\inf\)。

解 先估计各项的范围。对任意 \(n, m \in \mathbb{N}^{*}\) 有

\[ 0 < \frac1n \le 1, \qquad 0 < \frac1m \le 1, \qquad -1 \le -\frac1m < 0 , \]

故

\[ -1 < \frac1n - \frac1m < 1 . \]

也就是说 \(-1\) 是下界、\(1\) 是上界（都还只是"界"，未必最紧）。

\(\sup S = 1\)。 由上面的估计，\(1\) 是 \(S\) 的上界。取任意 \(\varepsilon > 0\)，由阿基米德性质（见确界存在定理）取正整数 \(m > 1 / \varepsilon\)，并取 \(n = 1\)，则

\[ x = 1 - \frac1m > 1 - \varepsilon, \qquad x \in S . \]

故 \(1\) 是最小上界，\(\sup S = 1\)。又 \(1 \notin S\)：若 \(\frac1n - \frac1m = 1\)，则 \(\frac1m = \frac1n - 1 \le 0\)，与 \(\frac1m > 0\) 矛盾。所以 \(1\) 取不到。

\(\inf S = -1\)。 同理 \(-1\) 是下界。取任意 \(\varepsilon > 0\)，取正整数 \(n > 1 / \varepsilon\) 与 \(m = 1\)，则

\[ x = \frac1n - 1 < -1 + \varepsilon, \qquad x \in S , \]

故 \(\inf S = -1\)。又 \(-1 \notin S\)：若 \(\frac1n - \frac1m = -1\)，则 \(\frac1n = \frac1m - 1 \le 0\)，矛盾。

说明 这个例子里两个确界都只被"逼近"而取不到："\(\sup\) 那一端"要靠 \(m \to +\infty\)（\(n\) 固定为 \(1\)）才逼近，而 \(m\) 是有限的，所以永远差 \(\frac1m\)；"\(\inf\) 那一端"同理。

例题 3

求

\[ S = \left\{\, 1 - \frac1n \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^{*} \,\right\} \cup \left\{\, 1 + \frac1n \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^{*} \,\right\} \]

的 \(\sup\) 与 \(\inf\)，并指出它们是否取到。

解 记

\[ S_1 = \left\{\, 1 - \frac1n \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^{*} \,\right\}, \qquad S_2 = \left\{\, 1 + \frac1n \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^{*} \,\right\}, \qquad S = S_1 \cup S_2 . \]

对 \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 有 \(0 < \frac1n \le 1\)，故

\[ S_1 \subseteq [0, 1), \qquad S_2 \subseteq (1, 2] , \]

并且 \(0 = 1 - \frac11 \in S_1\)（\(n = 1\)）、\(2 = 1 + \frac11 \in S_2\)（\(n = 1\)）。

上确界。 \(2\) 是 \(S\) 的上界：\(S_1\) 的元素都小于 \(1\)，当然也小于 \(2\)；\(S_2\) 的元素都满足 \(1 + \frac1n \le 2\)。而 \(2 \in S\)，所以 \(2\) 是 \(S\) 的最大元：

\[ \sup S = \max S = 2 , \]

在 \(n = 1\) 处取到。

下确界。 \(0\) 是 \(S\) 的下界：\(S_1\) 的元素都满足 \(1 - \frac1n \ge 0\)；\(S_2\) 的元素都大于 \(1\)，大于 \(0\)。而 \(0 \in S\)，所以 \(0\) 是 \(S\) 的最小元：

\[ \inf S = \min S = 0 , \]

也在 \(n = 1\) 处取到。

说明 本例与例题 2 形成对照：确界是否取到完全取决于集合的具体构造，本例两个确界同时取到（于是它们就是最值），例题 2 中两个都取不到。判断时唯一可靠的办法是回到定义，看集合里究竟有没有那个元素。

常见误区

易错点

• 上确界不等于最大值。 \(\sup S\) 只是"边界位置"，不一定住在 \(S\) 里；只有已经证明 \(\sup S \in S\) 之后才可以写 \(\sup S = \max S\)。反过来，一旦确定 \(\sup S \notin S\)，就可以断言 \(S\) 没有最大值。
• "有上界"只要求存在一个上界。 一个数 \(\beta\) 是上界只需满足 \(\forall x \in S,\ x \le \beta\)，不要求它最小。所以上界通常有无穷多个，而"最小上界"才唯一；证明里不能拿"任意一个上界"直接当 \(\sup S\) 用。

• 有上界并不意味着上确界存在。 这是最容易想错的一条：上界存在只是给出一个"候选天花板"，天花板能不能压到最紧，取决于数系本身。\(\mathbb{Q}\) 中的

  \[ S = \{\, x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \,\} \]

  非空且有上界（如 \(2\)），但它在 \(\mathbb{Q}\) 中没有上确界。\(\mathbb{R}\) 中不会发生这种事，靠的正是确界存在定理。

• 不要把无界集与空集的记号当成实数。 约定 \(\sup S = +\infty\)（无上界时）、\(\sup \varnothing = -\infty\)（空集）只是为了公式统一；这两个符号不是实数，不能参与普通的运算与大小比较。

• 不要把 \(\sup\) 与 \(\max\) 混用。 "\(\sup S = 1\)，所以 \(1\) 是 \(S\) 的最大值"是错误推理；正确写法是"\(\sup S = 1\)，且 \(1 \notin S\)，故 \(S\) 无最大值"。
• \(\varepsilon\) 刻画里那个 \(x\) 依赖 \(\varepsilon\)。 不能先固定一个 \(x\) 再让 \(\varepsilon \to 0\)：\(x\) 是随 \(\varepsilon\) 的取定而重新选取的，书写时务必让它出现在"任取 \(\varepsilon > 0\)"之后。

参见

• 确界存在定理：\(\mathbb{R}\) 中"确界一定存在"的依据，以及由它推出的结论
• 本节导读：2.1 的阅读顺序与学习目标
• 习题：本节的练习题与解答
• 1.1 集合：集合记号与子集
• 首页：全站记号约定