高等代数¶
高等代数研究的是线性结构：向量空间、线性变换、矩阵，以及作为它们背景的多项式与数域。整门课的主线可以概括成一句话——把高中熟悉的"解方程"抽象成"研究结构"。
这门课有两个特点，决定了笔记的编排方式：
- 定义密集。群、环、域、空间、变换、线性相关……新概念一个接一个，而后面所有定理都建立在它们之上。所以每页都先给定义，再给定理与证明。
- 证明套路化。绝大多数证明只用到"逐条核对定义"和"用已知结论搭桥"。笔记里把每步依据写清楚，比只看结论有用得多。
- 概念层层加条件。数域是域的特例、域是环的特例；排列先用逆序数分成奇偶两类，再用对换把两类联系起来。每引入一个新概念，都要回头问它和上一个的关系。
目录¶
| 部分 | 内容 |
|---|---|
| 导论 | 不属于任何一章的预备知识：集合与卡氏积、关系与等价类、连加与连乘 |
| 第一章 行列式 | 1.1 数域（群、环、域）；1.2 排列（逆序数、对换、奇偶性）；1.3 \(n\) 阶行列式（开头）；后续节待补 |
怎么用这份笔记¶
- 先扫一遍定义。每页的定义都放在提示框里，可以先只看这些框，建立起概念地图。
- 再做例题。例题与习题的解答默认折叠，先自己写一遍再展开。
- 盯住"证明的依据"。笔记里每一步推导后面都注明了用的是哪条定义或哪个已证结论——这是本课程唯一需要背的东西。
- 配合导论。商集、求和记号这些工具在正文里会直接使用，不熟就先补。
记号
本分册会用到 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（模 \(n\) 的商群）、\(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\)（数域的扩张）、群的阶 \(\lvert G \rvert\) 等记号，均在正文首次出现处定义；首页有一张全站通用的记号表。