函数与反三角函数¶
本页面用1.2的映射语言重述函数，说明反函数存在的条件，并据此解释反三角函数为什么必须指定主值区间；最后复习它们的定义域、值域与导数公式。
反三角函数是"限制定义域 + 取逆映射"这一套动作最标准的例子：\(\sin\) 在 \(\mathbb{R}\) 上根本不可逆，但把它限制到 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上就变成双射，逆映射就是 \(\arcsin\)。
前置知识
函数：从 \(X\) 到 \(\mathbb{R}\) 的映射¶
定义（函数）
设 \(X\) 是非空集合。一个映射
称为定义在 \(X\) 上的函数。此时 \(X\) 称为 \(f\) 的定义域，\(f(X)\) 称为 \(f\) 的值域，\(X\) 中的元素称为自变量，\(f(x)\) 称为因变量。
若 \(f\) 的陪域是 \(\mathbb{R}\) 的某个子集 \(Y\)，也直接写成 \(f: X \to Y\)。
函数就是"取值为实数"的映射，因此关于映射的一切结论（单射、满射、双射、复合、逆映射）对函数都自动成立，不需要重新定义一遍。
题外话：为什么叫“函数”
中文的"函数"一词由清代数学家李善兰在翻译西方代数著作时创用，取"凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数"之意，这里的"函"通"含"，即"含有变量"。英文 function 则源自 Leibniz 用来表示"与曲线有关的量"的拉丁词 functio。名称来自历史，与定义无关——理解函数要看上面的定义，而不是看名字里有没有"含"。
函数常用三种方式表示：
- 解析式：如 \(f(x) = x^2 + 1\)；
- 图像：即 \(\mathbb{R}^2\) 的子集 \(\Gamma_f = \{\, (x, f(x)) \mid x \in X \,\}\)；
- 表格：逐点列出取值，实际计算中常用。
分段函数是"对应法则分几段给出"的函数，例如
注意分段函数仍然是一个函数（一个映射），只是法则的写法分成几段；关键在于定义域中每个 \(x\) 只能落入一段，否则就不是映射。
反函数¶
定义（反函数）
设 \(f: X \to Y\) 是函数，且 \(Y = f(X)\)（陪域就是值域）。若 \(f\) 是单射，则 \(f: X \to f(X)\) 是双射，从而有逆映射
称 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的反函数。
由逆映射的复合恒等式，对任意 \(x \in X\)、\(y \in f(X)\)，
习惯上把反函数也写成 \(y = f^{-1}(x)\) 的形式：这相当于把自变量与因变量的字母对调了。对调字母只是为了书写方便，函数本身没有变。
易错点：反函数存在的前提
- 必须把陪域取成值域 \(f(X)\)。若陪域取得比值域大（例如把 \(x \mapsto e^x\) 看成 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)），则 \(f\) 不是满射，按逆映射的定义不可逆。
- 必须单射。\(y = x^2\) 作为 \(\mathbb{R} \to [0, +\infty)\) 不是单射（\(f(-1) = f(1)\)），因此没有反函数。
- 讨论反函数时必须同时指明定义域。同一个解析式配不同定义域，会得到不同的反函数（见下面的例题）。
- 反函数 \(f^{-1}\) 与倒数 \(\frac{1}{f}\) 毫无关系。
判断单射有一个最常用的充分条件：
超纲（可跳过）
下面的命题（严格单调蕴含单射）与紧随其后的"充分但不必要"提示都超出本课要求。本课的做法是：对 \(a^x\)、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 这些熟悉的函数，把定义域限制好（或把陪域收缩为值域）之后直接看能不能反解；要求掌握的是它们的定义域、值域与图像。第一遍可以跳过这条命题，但"限制定义域之后才谈反函数"这个动作必须会。
命题（严格单调蕴含单射）
设 \(f\) 在区间 \(I\) 上有定义。若 \(f\) 在 \(I\) 上严格单调（严格递增或严格递减），则 \(f\) 在 \(I\) 上是单射，从而（把陪域收缩为值域后）存在反函数。
证明
不妨设 \(f\) 在 \(I\) 上严格递增。任取 \(x_1, x_2 \in I\) 且 \(x_1 \ne x_2\)，则 \(x_1 < x_2\) 或 \(x_2 < x_1\)。
- 若 \(x_1 < x_2\)，由严格递增得 \(f(x_1) < f(x_2)\)；
- 若 \(x_2 < x_1\)，同理 \(f(x_2) < f(x_1)\)。
两种情形都有 \(f(x_1) \ne f(x_2)\)，故 \(f\) 是单射。严格递减的情形同理。
这个条件是充分的，不是必要的
存在不单调但仍是单射的函数，例如
\(f\) 不是单调的（第一段递增、第二段递减），但它是单射：值域为 \([0, 1] \cup [1, 2) = [0, 2)\)，不同的 \(x\) 给出不同的值。所以判断可逆应当直接验证单射，而不是只检查单调性。教科书上之所以常把"严格单调"当成求反函数的入口，是因为它好用、容易检验。
例题 1（同一个解析式，不同的反函数）
讨论 \(f(x) = x^2\) 的反函数。
解 作为 \(\mathbb{R} \to [0, +\infty)\) 的映射，\(f\) 不是单射（\(f(-1) = f(1) = 1\)），所以不可逆。
把定义域限制后可以变成双射：
-
限制到 \([0, +\infty)\)：\(f\) 在 \([0, +\infty)\) 上严格递增，值域仍为 \([0, +\infty)\)，故
\[ f_1: [0, +\infty) \to [0, +\infty), \quad f_1(x) = x^2, \qquad f_1^{-1}(y) = \sqrt{y}; \] -
限制到 \((-\infty, 0]\)：\(f\) 在 \((-\infty, 0]\) 上严格递减，同样是从 \((-\infty, 0]\) 到 \([0, +\infty)\) 的双射，故
\[ f_2: (-\infty, 0] \to [0, +\infty), \quad f_2(x) = x^2, \qquad f_2^{-1}(y) = -\sqrt{y}. \]
两个反函数的解析式不同（差一个负号），根源是定义域的限制不同。所以"求 \(y = x^2\) 的反函数"这句话本身是不完整的，必须补上定义域。
易错点：把 \(x\) 与 \(y\) 交换只是改写法
求反函数时"把 \(x\) 和 \(y\) 交换一下"是大家最顺手的做法，但要注意它只是改写法，不是换了一个函数：
- 交换字母前后说的是同一个对应关系（\(y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)\)），\(f\) 与 \(f^{-1}\) 仍是两个方向相反的映射；
- 交换之后必须同时写清定义域与值域：\(f\) 的定义域成为 \(f^{-1}\) 的值域，\(f\) 的值域成为 \(f^{-1}\) 的定义域。只写解析式不写定义域，答案就是不完整的——同一个解析式配不同的定义域会给出不同的反函数（见上面例题 1）。
第一个例子：指数函数与对数函数¶
反函数的第一个例子不是反三角函数，而是高中就熟悉的指数函数——它比三角函数更好懂。
设 \(a > 0\) 且 \(a \ne 1\)，考虑 \(f(x) = a^x\)。这两个条件都不能省：
- \(a > 0\)：若 \(a < 0\)，则对一般的实数指数（如 \(a^{\frac12}\)、\(a^{\sqrt{2}}\)）根本没有意义；\(a = 0\) 时 \(0^x\) 也只在 \(x > 0\) 时有定义（\(x \le 0\) 无意义）。要让每个 \(x \in \mathbb{R}\) 都有唯一的像，就必须 \(a > 0\)；
- \(a \ne 1\)：若 \(a = 1\)，则 \(a^x \equiv 1\)，这是常值映射，不是单射，因此不可逆。
固定 \(a > 0\)、\(a \ne 1\) 之后，\(a^x\) 在 \(\mathbb{R}\) 上严格单调（\(a > 1\) 时严格递增，\(0 < a < 1\) 时严格递减），图像的走向按这两种情况分别上升、下降，并且整体位于 \(x\) 轴上方、能取遍一切正数——这是高中就熟悉的图像事实。
于是把陪域收缩为值域后，
是双射（单射由严格单调保证，满射由值域恰为 \((0, +\infty)\) 保证），从而有反函数
定义域是 \((0, +\infty)\)、值域是 \(\mathbb{R}\)，图像与 \(y = a^x\) 的图像关于直线 \(y = x\) 对称。
这是第一个"反函数仍是初等函数"的例子：\(a^x\) 与 \(\log_a x\) 是同一件事的两个方向。这里写得很快（"快速地写了一遍"），因为高中已经熟悉；把它放在反三角函数之前，正好可以先用它熟悉"收缩陪域 → 取逆映射 → 反函数"这套动作，再去看需要挑主值区间的三角函数。
反三角函数¶
\(\sin\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数，在 \(\mathbb{R}\) 上远远不是单射（\(\sin 0 = \sin \pi = 0\)）。按上面的办法，先选一段单调区间把 \(\sin\) 限制成单射，再取逆映射。
定义（反正弦、反余弦、反正切、反余切）
把三角函数限制在各自的主值区间上，使它们成为双射，其逆映射分别记作 \(\arcsin\)、\(\arccos\)、\(\arctan\)、\(\operatorname{arccot}\)：
| 反三角函数 | 原函数与主值区间 | 定义域 | 值域（主值范围） |
|---|---|---|---|
| \(y = \arcsin x\) | \(\sin\) 限制在 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) | \([-1, 1]\) | \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) |
| \(y = \arccos x\) | \(\cos\) 限制在 \([0, \pi]\) | \([-1, 1]\) | \([0, \pi]\) |
| \(y = \arctan x\) | \(\tan\) 限制在 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) |
| \(y = \operatorname{arccot} x\) | \(\cot\) 限制在 \((0, \pi)\) | \(\mathbb{R}\) | \((0, \pi)\) （超纲） |
表中 \(\operatorname{arccot}\) 一行超出本课要求（本课只要求 \(\arcsin\)、\(\arccos\)、\(\arctan\)），（超纲）；其余三行的定义域、值域与主值区间都是本课要求的内容。
以 \(\arcsin\) 为例，它由
唯一确定。
这一节的表格要能默写
这一节真正要记的是反三角函数的定义域、值域与图像，也就是上面这张表的内容——它在考试里出现得最频繁。所以主值区间要能当场默写，\(\arcsin\)、\(\arccos\)、\(\arctan\) 的图像也要能画出草图。
四种反三角函数的定义方式完全一样，只有"选哪一段"不同。选段的唯一要求是：在这段上原函数严格单调，并且函数值刚好覆盖整个值域。\(y = \arcsin x\) 与 \(y = \sin x\)（限制在 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上）的图像关于直线 \(y = x\) 对称（画图时两坐标轴要取相同单位长度）。
由复合恒等式，下列两个式子成立的范围不一样，务必分清：
- \(f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y\)：即 \(\sin(\arcsin x) = x\)，对一切 \(x \in [-1, 1]\) 成立；
- \(f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x\)：即 \(\arcsin(\sin x) = x\)，只对 \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 成立。
原因正是逆映射的定义：第一条里的 \(y\) 取自陪域（收缩后的值域 \([-1,1]\)），而第二条里的 \(x\) 必须取自限制后的定义域，不能是整个 \(\mathbb{R}\)。
超纲（可跳过）
本课只强调反三角函数的定义域、值域与图像要会，没有配这类化简题。下面这道题（把 \(\arcsin(\sin x)\) 一类的角拉回主值区间）是补充练习，超出本课要求。
例题 2（化简 \(\arcsin(\sin x)\) 一类表达式）
化简：
- \(\arcsin\left(\sin \frac{3\pi}{4}\right)\)；
- \(\arccos\left(\cos \frac{4\pi}{3}\right)\)；
- \(\arctan\left(\tan \frac{5\pi}{6}\right)\)。
解
1. \(\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，而 \(\frac{\sqrt2}{2} \in [-1,1]\)，故
答案是 \(\frac{\pi}{4}\) 而不是 \(\frac{3\pi}{4}\)：$ \frac{3\pi}{4} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$，超出主值区间了。
2. \(\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac12\)，而 \(-\frac12 \in [-1,1]\)，由 \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12\) 且 \(\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]\)，得
3. \(\tan\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)，而 \(-\frac{1}{\sqrt3} \in \mathbb{R}\)，由 \(\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt3}\) 且 \(-\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)，得
说明 三道小题的共同做法是：先把内层的三角函数值算出来（这一步没有范围限制），再用反三角函数的主值区间把角度拉回到主值范围内。只要主值区间选得对，答案就唯一。
易错点：\(\sin^{-1}\) 的歧义
\(\sin^{-1} x\) 在多数教材中表示 \(\arcsin x\)，而 \((\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x} = \csc x\) 表示倒数。同一个上标 \(-1\) 有两种含义：写在函数名右上角表示逆映射，写在函数值的括号外表示取倒数。为免混淆，本笔记一律写 \(\arcsin x\)，不使用 \(\sin^{-1} x\)。
导数复习¶
为什么要单独复习导数
这一节值得单独记公式的理由是：三角函数的导数还是三角函数（\(\sin\) 求导得 \(\cos\)，\(\cos\) 求导得 \(-\sin\)，始终在同一族里），而反三角函数求导之后却"跑到"根式那一族去了——\(\arcsin\) 与 \(\arccos\) 的导数是 \(\pm\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\(\arctan\) 与 \(\operatorname{arccot}\) 的导数是 \(\pm\dfrac{1}{1+x^2}\)。这种"换族"现象正是反函数求导法则的典型后果，也是这些公式值得单独记一遍的原因。它们"非常奇特，非常简单"，都要会；推导留到有了导数定义之后再做。
本节的导数只用结论
导数的严格定义（差商的极限）与求导法则将在微分一章给出。这里先承认反函数求导法则，用它把四个反三角函数的导数公式推一遍；等到微分一章，这些推导就有了完整依据。
命题（反函数求导法则）
设 \(f\) 在含 \(x_0\) 的区间上严格单调、连续，在 \(x_0\) 处可导且 \(f'(x_0) \ne 0\)。则反函数 \(f^{-1}\) 在 \(y_0 = f(x_0)\) 处可导，且
用 Leibniz 记号写就是
即"导数的倒数"。直观上：\(y\) 关于 \(x\) 变化得快，\(x\) 关于 \(y\) 就变化得慢，两者互为倒数。
由这个法则与基本的三角恒等式，得到四个导数公式：
| 函数 | 定义域内部 | 导数 |
|---|---|---|
| \(y = \arcsin x\) | \(-1 < x < 1\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) |
| \(y = \arccos x\) | \(-1 < x < 1\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) |
| \(y = \arctan x\) | \(x \in \mathbb{R}\) | \(\dfrac{1}{1 + x^2}\) |
| \(y = \operatorname{arccot} x\) | \(x \in \mathbb{R}\) | \(-\dfrac{1}{1 + x^2}\) （超纲） |
推导（以 \(\arcsin\) 与 \(\arctan\) 为例）
\(\arcsin\)。 设 \(y = \arcsin x\)，其中 \(x \in (-1, 1)\)、\(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)。由定义 \(x = \sin y\)，而 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \cos y\)。由反函数求导法则，
由于 \(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)，有 \(\cos y > 0\)，故
于是
\(\arctan\)。 设 \(y = \arctan x\)，则 \(x = \tan y\)，\(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)。此时
其中第二个等号来自 \(\frac{1}{\cos^2 y} = \frac{\sin^2 y + \cos^2 y}{\cos^2 y} = \tan^2 y + 1\)。故
\(\arccos\) 与 \(\operatorname{arccot}\) 的导数只比上面多一个负号（\(\operatorname{arccot}\) 一行超出本课要求，（超纲））。以 \(\arccos\) 为例，\(y = \arccos x \in (0, \pi)\) 满足 \(x = \cos y\)，\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = -\sin y\)；由于 \(y \in (0, \pi)\) 时 \(\sin y > 0\)，得 \(\sin y = \sqrt{1 - x^2}\)，于是
负号的来源是 \(\cos\) 在 \((0, \pi)\) 上严格递减，而 \(\sin\) 在 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) 上严格递增。
公式的成立范围不能忽略
- \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 只在开区间 \((-1,1)\) 上成立。在 \(x = \pm 1\) 处 \(\sqrt{1-x^2} = 0\)，公式右端无意义；事实上 \(\arcsin\) 在 \(x = \pm 1\) 处不可导（其图像在该处的切线垂直于 \(x\) 轴）。
- \((\arccos x)'\) 同样只在 \((-1,1)\) 上成立。
- \((\arctan x)'\) 在整个 \(\mathbb{R}\) 上成立；\((\operatorname{arccot} x)'\) 也在整个 \(\mathbb{R}\) 上成立 （超纲）。
超纲（可跳过）
反三角函数的导数公式本课要求"都要会"，但公式的推导留到微分一章，也没有配复合求导的例题。下面这道链式法则的例题是补充练习，超出本课要求。
例题 3（复合后的求导）
求 \(y = \arcsin(2x - 1)\) 的导数，并指出其定义域。
解 需要 \(-1 \le 2x - 1 \le 1\)，即 \(0 \le x \le 1\)，故定义域为 \([0,1]\)；由于 \(\arcsin\) 只在开区间上可导，求导区间取 \((0,1)\)。
由链式法则，令 \(u = 2x - 1\)，则 \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2\)，而 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\)，故
最后一步用了 \(1 - (2x-1)^2 = 4x - 4x^2 = 4x(1-x)\)，并把分子分母同除以 \(2\)。
例题 4（恒等式 \(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\)）
证明：对一切 \(x \in [-1, 1]\)，
解 设 \(\theta = \arccos x\)，则 \(\theta \in [0, \pi]\) 且 \(\cos\theta = x\)。于是
并且角 \(\frac{\pi}{2} - \theta\) 满足
由 \(\arcsin x\) 的定义（\([-1,1]\) 上满足 \(\sin y = x\) 且 \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 的 \(y\) 唯一），得
移项即得所证。
说明 这里只用了 \(\arcsin\) 的定义与一个三角恒等式，没有用到连续性——所以这一证明在学完微分之前就是完整的。若改用求导（证明左端导数为零、故为常数，再取 \(x = 0\) 定出 \(\frac{\pi}{2}\)），还要额外说明"导数为零的函数是常数"，那要到中值定理一章。同一结论的两种证法正好说明：能不用后续工具时，就用定义。
常见误区¶
易错点
- \(\arcsin(\sin x) = x\) 只在 \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 成立。 对别的 \(x\) 必须先把角拉回主值区间（见例题 2）。而 \(\sin(\arcsin x) = x\) 对一切 \(x \in [-1,1]\) 成立。
- 反函数与倒数混淆。 \(\arcsin x \ne \frac{1}{\sin x}\)。前者是 \(\sin\) 的逆映射，后者是 \(\sin\) 的倒数 \(\csc x\)。
- 求反函数时不写定义域。 "\(y = x^2\) 的反函数是 \(y = \sqrt{x}\)"这句话不完整：必须说明是在 \([0,+\infty)\) 上限制后的反函数（在 \((-\infty,0]\) 上限制则得到 \(-\sqrt{x}\)）。
- 把"单调"当成可逆的必要条件。 严格单调只是单射的充分条件；单射但非单调的函数也存在（见本页的提示框）。
- 求导公式不注明区间。 \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的成立范围是 \((-1,1)\)，端点处不能写。
- 忘记主值区间就取反。 由 \(\sin y = \frac12\) 求 \(y\) 时，\(y\) 有无数个可能值；只有加上 \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 才唯一确定 \(y = \arcsin\frac12 = \frac{\pi}{6}\)。