1.4 不等式¶

本节是第一章里唯一以估计技巧为主的一节：不靠定义逐条核对，而是靠对大小关系的变形来推进。本节的顺序是两块内容：

两个基本不等式——\(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\) 与三角不等式 \(\lvert a+b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)，连同它们的两件准备知识（绝对值的性质、"平方保序"的条件）。它们常被称作"定理的变形"：同一个不等式的各种等价写法要能认出是同一件事。
均值不等式——把调和平均、几何平均、算术平均串成一条链

\[ H_n \le G_n \le A_n , \]

并给出完整证明。它后面要做数列极限的夹逼、积分估计的上下界，作用一直延伸到微分与积分。

三个平均的直观差别用一组数就能看出来。取 \(a_1 = 1\)、\(a_2 = 4\)：

\[ H_2 = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = 1.6, \qquad G_2 = \sqrt{4} = 2, \qquad A_2 = \frac{5}{2} = 2.5 . \]

调和平均最偏向小的那个数，算术平均最偏向大的那个数，几何平均居中。均值不等式要证的就是"这个顺序永远成立，而且只有当所有数全相等时三者才重合"。

前置知识

本节页面¶

页面	内容	定位
绝对值、三角不等式与两个基本不等式	绝对值的性质与分类讨论、平方保序的条件、\(ab \le \frac{a^2+b^2}{2}\)、三角不等式（含复数视角与欧拉公式）	本节先讲的一块
均值不等式	三种平均的定义、\(H_n \le G_n \le A_n\) 的四步证明（\(n = 2\)、\(n = 2^k\)、第三步的两种补法以标签栏并列、调和部分）、反向归纳、加权推广、\(A_n \le Q_n\)、5 道例题	本节主线
习题	6 道自拟练习题，含最值题与等号条件的检查，解答默认折叠	检验是否真的会算

先读绝对值、三角不等式与两个基本不等式。 先读这两个不等式，再读均值不等式；绝对值与"平方保序"的写法是后面一切估计的基本功。
再读均值不等式。 三种平均的定义很短，重点是定理的证明。证明按"由易到难"推进：先解决 \(n = 2\)（一行），再把 \(n = 2\) 归纳到 \(n = 2^k\)，最后用填补法覆盖任意 \(n\)。每一部分都要看清等号条件是怎么跟着传下来的。
第三步任选一栏读完。 本节唯一有难度的地方就是第三步：为什么要挑一个 \(2^k \ge n\)、补上去的数该取什么、最后一步怎么把结论解出来。这一步有两种补法，在第三步里以两个标签栏并列：方法一补算术平均 \(A_n\)（本课采用的一种），方法二补几何平均 \(G_n\)（课外补充，收尾只需移项）。两种都是完整证明，点开一栏读即可。
最后做习题。 6 道题按难度递增：前 3 题练"凑定值 + 验等号"，第 4、5 题是纯不等式证明，第 6 题把 \(H \le A\) 与 \(ab + bc + ca \le \frac{1}{3}\) 联系起来。解答折叠在题目下面，先自己写一遍再展开。

读这一节的两个提醒

看到"正数"就打起精神。 \(a_i > 0\) 是均值不等式的硬前提，丢掉它结论直接失效（\(a = -1\)、\(b = -4\) 时 \(G_2 > A_2\)）。
算完最值一定要回答"等号取得到吗"。 这是本节与中学做题最大的区别：不等式的下界不等于最小值，只有当使各项相等的那组值落在定义域内，下界才升级为最值。

本课要求：

能写出绝对值的定义并按定义分类讨论地证明 \(\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)；
能说清"两边平方"的前提：只有 \(x, y \ge 0\) 时才有 \(x < y \iff x^2 < y^2\)，并能举出 \(-2 < 1\) 的反例；
能独立证明 \(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\)（由 \((a-b)^2 \ge 0\)）与三角不等式 \(\lvert a+b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)（两边平方），并说出各自的等号条件；
能写出调和平均、几何平均、算术平均的定义式，并说清前提 \(a_i > 0\) 各用在什么地方；
能独立写出 \(n = 2\) 的证明（从 \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0\) 出发），并说明 \(H_2 \le G_2\) 是如何由对 \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\) 用 \(G_2 \le A_2\) 得到的；
能说清 \(n \to 2n\) 这一步：\(A_{2n} = \frac{A_n^{(1)} + A_n^{(2)}}{2}\) 与 \(G_{2n} = \sqrt{G_n^{(1)} G_n^{(2)}}\) 是怎么算出来的，两个不等号分别用的是哪条结论；
能复述方法一（补 \(A_n\)）的完整链条：挑 \(m = 2^k \ge n\) → 补 \(A_n\) → \(A_m = A_n\) → 用 \(G_m \le A_m\) → 消去 \(A_n\) 的幂 → 得 \(G_n \le A_n\)；
能由 \(G \le A\) 推出 \(H \le G\)（对 \(b_i = 1/a_i\) 用 \(G \le A\)），并说明等号条件；
能用均值不等式求最值，并且每次都显式验证等号能否取到——这是本节真正的考查点。

以下是超出本课要求、作为完整性补上的内容，第一遍可以跳过：

方法二（补 \(G_n\)）的完整链条（（超纲））；
反向归纳（（超纲））；
加权情形 \(\prod a_i^{w_i} \le \sum w_i a_i\)（（超纲），且目前只在有理权重下被证明，无理权重留待后续）；
平方平均与 \(A_n \le Q_n\)（（超纲），用 \(\sum_{i<j}(a_i - a_j)^2 = n\sum a_i^2 - (\sum a_i)^2 \ge 0\) 证明）。