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1.1 数域

本节是第一章的开头，也是全课程代数部分的起点。它要做的事只有一件：把"数"的范围从 \(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\) 推广到一般的"数域"，并说清楚为什么可以这样做。为此需要先补上群、环、域这三层代数结构。

前置知识
  • 导论：集合与卡氏积、关系与等价类（商集）、连加与连乘记号
  • 本节不假设读者学过抽象代数：群、环、域都在数域中从定义讲起

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页面 内容 定位
数域 群、半群与交换群、环、域、数域、\(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\)、数域的交与并 本节主线
习题 课本 1.1 的 5 道习题与 1 道思考题，解答默认折叠 检验是否真的掌握
扩展阅读：比 \(\mathbb{C}\) 更大的域 从思考题出发，把"更大"拆成集合包含、代数扩张、势、抽象同构四种含义；有理函数域 \(\mathbb{C}(x)\)、代数闭域、Steinitz 定理 超纲拓展，可跳过

阅读顺序

正文的推进是一条直线，每一步只比上一步多加一条条件：

\[ \text{半群} \longrightarrow \text{含幺半群} \longrightarrow \text{群} \longrightarrow \text{交换群} \longrightarrow \text{环} \longrightarrow \text{域} \longrightarrow \text{数域} \]
  1. 先读数域。 从二元运算出发，按上面的链条逐层加条件，最后得到数域的定义、典型例子，以及关于交与并的两条结论。
  2. 最后做习题。 6 道题覆盖了本节全部考点；解答折叠在题目下面，先自己写一遍再对照。其中第 5 题（\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\)）明显比其余各题难，卡住时可以回看正文 \(\mathbb{Q}(\sqrt{p})\) 中把分母有理化的手法。
  3. 有余力再看扩展阅读。 它是思考题 1（是否存在比 \(\mathbb{C}\) 更大的域）的展开，属于课外推广；其中标了"超纲"的段落可以跳过，读完不影响本节任何考点。

本节要掌握到什么程度

  • 能写出群、环、域的定义，并说清三者是"加条件"的关系；
  • 知道验证数域封闭性时可以只验减法与除法两条，并能写出推理；
  • 能自己证明"任何数域都包含 \(\mathbb{Q}\)"，并指出证明中每一步用的是哪条封闭性；
  • 能判断一个给定的集合（如 \(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)、\(\{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} \mid a, b, c \in \mathbb{Q}\}\)）是不是数域，不是的话要能指出缺哪一条；
  • 能说明两个数域的交仍是数域，而并通常不是，并举出 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cup \mathbb{Q}(\sqrt{3})\) 这个反例；
  • 能说明"最大数域"与"最大域"是两件事：\(\mathbb{C}\) 之上还有 \(\mathbb{C}(x)\) 这样的域，但它不是数域 （超纲）。

参见