绝对值、三角不等式与两个基本不等式¶
本页面收录均值不等式之前的两个基本不等式：\(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\) 与三角不等式 \(\lvert a+b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)，以及它们的两件准备知识——绝对值的性质与"平方保序"成立的条件。
值得先说明的是：在数学分析里，很多关系不是等式而是不等式，而同一个不等式又有各种"变形"，所以先集中把这两个最常用的讲清楚；后面讲极限、估计、误差时都要用。
前置知识
- 实数的大小与四则运算：\((a-b)^2 \ge 0\)、不等式两边同乘正数保序
- 绝对值的定义 \(\lvert a \rvert = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a < 0 \end{cases}\)
- 函数与反函数：\(x \mapsto x^2\) 在 \([0, +\infty)\) 上是双射（三角不等式的证明里要用）
引入：为什么单独讲不等式¶
引入它们的理由是：分析里要"估计"一个量的大小，靠的不是等式而是不等式；同一个不等式可以写成许多等价形式（常被称为"定理的变形"），看到不同的样子要能认出来是同一个东西。
本节先讲两个最基础、后面反复使用的：
绝对值¶
定义（绝对值）
设 \(a \in \mathbb{R}\)。\(a\) 的绝对值定义为
命题（绝对值的基本性质）
对任意 \(a, b \in \mathbb{R}\)：
- \(\lvert a \rvert \ge 0\)，且 \(\lvert a \rvert = 0 \iff a = 0\)；
- \(-\lvert a \rvert \le a \le \lvert a \rvert\)；
- \(\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)，且当 \(b \ne 0\) 时 \(\left\lvert \dfrac{a}{b} \right\rvert = \dfrac{\lvert a \rvert}{\lvert b \rvert}\)；
- \(\lvert a \rvert^2 = a^2\)。
证明（第 3 条，示范分类讨论的写法）
\(\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\) 的证明只能按定义分类讨论。
- 若 \(a \ge 0\)、\(b \ge 0\)：则 \(ab \ge 0\)，于是 \(\lvert ab \rvert = ab = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)。
- 若 \(a \ge 0\)、\(b < 0\)：则 \(ab \le 0\)，于是 \(\lvert ab \rvert = -ab = a \cdot (-b) = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)。
- 若 \(a < 0\)、\(b \ge 0\)：与上一条同理。
- 若 \(a < 0\)、\(b < 0\)：则 \(ab > 0\)，于是 \(\lvert ab \rvert = ab = (-a)(-b) = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)。
四种情形都成立，故等式恒成立。第 2 条由定义直接验证：\(a \ge 0\) 时 \(a = \lvert a \rvert > -\lvert a \rvert\)，\(a < 0\) 时 \(-a = \lvert a \rvert > a\)。
易错点：绝对值必须分类讨论
值得专门强调："绝对值有很多细节"。写含有绝对值的推理时，必须先按 \(a \ge 0\) 与 \(a < 0\) 分类，不能凭"显然"往下走：\(\lvert a \rvert = a\) 只在 \(a \ge 0\) 时成立，\(a < 0\) 时 \(\lvert a \rvert = -a\)。后面判断极限、估计误差时的许多错误都出自跳过这一步。
平方保序的条件¶
三角不等式的证明要用"两边平方"，而这一步有前提。
命题（平方保序）
设 \(x, y \ge 0\)。则
也就是说，\(x \mapsto x^2\) 在 \([0, +\infty)\) 上严格递增，从而是从 \([0, +\infty)\) 到自身的双射。
易错点：去掉"非负"就不成立
对一般的实数 \(x, y\)，\(x < y\) 推不出 \(x^2 < y^2\)。例如
所以凡是"两边平方"的推理，都要先说明两边都非负。这正是下面的三角不等式证明里要单独交代的一句。
第一个不等式：\(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\)¶
命题（第一个基本不等式）
对任意 \(a, b \in \mathbb{R}\)，
等号成立当且仅当 \(a = b\)。
证明
由完全平方的非负性，
展开得 \(a^2 - 2ab + b^2 \ge 0\)，移项即 \(2ab \le a^2 + b^2\)，两边除以 \(2\) 就是所要的不等式。等号成立当且仅当 \((a-b)^2 = 0\)，即 \(a = b\)。
同一个不等式的其它写法（"定理的变形"）：
它与均值不等式是同一件事
把 \(a, b\) 换成 \(a^2, b^2\)，第一个不等式就变成
两边开方得 \(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\) 的另一种形式；而把均值不等式的两数情形
用在 \(a^2\) 与 \(b^2\) 上，就得到 \(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\)。这就是"一个不等式推出另一个"，指的就是这两条互相等价——它们都是 \((a-b)^2 \ge 0\) 的改写。
第二个不等式：三角不等式¶
定理（三角不等式）
对任意 \(a, b \in \mathbb{R}\)，
等号成立当且仅当 \(a, b\) 同号（或其中至少一个为 \(0\)）。一般地，对任意 \(n\) 个实数 \(a_1, \dots, a_n\)，
证明（两边平方）
两边都非负（绝对值不小于 \(0\)），所以由平方保序只需证
左端用 \(\lvert x \rvert^2 = x^2\)：
而由 \(ab \le \lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert\)（见第一个基本不等式与绝对值的第 3 条），
两式相接即得 \(\lvert a+b \rvert^2 \le (\lvert a \rvert+\lvert b \rvert)^2\)，再由平方保序（两边非负）得 \(\lvert a+b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert\)。等号要求两步同时取等号，即 \(ab = \lvert ab \rvert\)，也就是 \(a, b\) 同号或至少一个为 \(0\)。
多项情形对 \(n\) 归纳即可：\(n=2\) 是已证的，\(n\) 到 \(n+1\) 时把前 \(n\) 项看成一个数。
为什么叫"三角"不等式
把 \(a, b\) 看成平面向量的分量（或三角形的两条边长），这条不等式说的就是三角形两边之和不小于第三边。名字来自几何直观，用起来却是纯代数的。
再看一个视角：复数
把 \(a, b\) 放到复数里看，证明会更"轻便"。记 \(z = a + bi\)，用 \(\lvert z \rvert^2 = z \bar z\) 可以同样得到
推导见下面的折叠块；本课只作介绍，正式的复数语言在后续课程里再展开。
复数写法的推导
对复数 \(z\)，\(\lvert z \rvert^2 = z \bar z\)。于是
而 \(z_1 \bar z_2 + \bar z_1 z_2 = 2\operatorname{Re}(z_1 \bar z_2) \le 2\lvert z_1 \bar z_2 \rvert = 2\lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert\)，故
两边开方（都非负）即得结论。
易错点：分类讨论的另一种写法
不用平方时，三角不等式要按 \(a+b \ge 0\) 与 \(a+b<0\) 分类，再对 \(a, b\) 的符号逐一讨论，写起来长得多。这里要提醒：这类"绝对值 + 不等式"的推理必须把每一步的依据写出来，否则会被判"讨论不全"。用平方保序可以把讨论压缩成一句"两边都非负"，所以更值得掌握。
延伸：欧拉公式（只给结论）¶
记成结论即可
三角函数可以用指数函数表示，这就是欧拉公式
并说"这个我们后面会证"。本课只把它作为结论记下来，不作推导；用它可以把三角恒等式改写成指数的运算，这也是三角不等式与均值不等式常常"变形"的根源之一。
与均值不等式的关系¶
- 第一个不等式 \(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\) 与均值不等式的两数情形 \(A_2 \ge G_2\) 互相等价（见上面的提示框）；
- 三角不等式是"绝对值 + 加法"的基本估计，后面讨论数列极限的夹逼、误差估计时反复使用；
- 把 \(A_2 \ge G_2\) 推广到 \(n\) 个数，就是下一节均值不等式的内容。
常见误区¶
易错点
- 绝对值不分类就往下推。 \(a<0\) 时 \(\lvert a \rvert = -a\)，不能写成 \(a\)。
- 两边平方不看符号。 \(x<y\) 推不出 \(x^2<y^2\)，必须有 \(x, y \ge 0\)。
- 三角不等式写成等号。 只有 \(a,b\) 同号或至少一个为 \(0\) 时才取等号；异号时是严格的。
- 忘记推广形式的取等条件。 \(\left\lvert \sum a_i \right\rvert \le \sum \lvert a_i \rvert\) 的等号要求所有 \(a_i\) 同号（或只有一个非零）。
- 把 \(ab \le \frac{a^2+b^2}{2}\) 记成 \(ab \le \frac{a^2-b^2}{2}\)。 右端是加号；这条不等式的来源是 \((a-b)^2\ge0\)，不是平方差公式。