\(n\) 阶行列式的定义¶
本页面把上一页的观察变成定义：先说明什么是 \(n\) 阶方阵（行列式作用的对象），再写出 \(n\) 阶行列式中每一项的一般形状（不同行不同列元素的乘积），最后数清一共有多少项。
这一页不涉及正负号——符号要靠逆序数来定，是紧接着的下一步。
前置知识
元素与方阵¶
先明确行列式作用在什么对象上。
定义（\(n\) 阶方阵）
由 \(n^2\) 个元素排成的 \(n\) 行 \(n\) 列的正方形数表
称为一个 \(n\) 阶方阵，可简记为
或更简地记作 \(A = (a_{ij})\)。
其中 \(a_{ij}\) 称为方阵的元素，下标 \(i\) 是行指标（表示它在第 \(i\) 行），\(j\) 是列指标（表示它在第 \(j\) 列）。\(a_{ij}\) 也统称为方阵的一般元素（或一般项）。
元素不一定是数
按课堂上的说法：\(a_{ij}\) 可以是数，也可以是多项式，或者是其他关于乘法可交换的元素。
- "关于乘法可交换"是必需的：后面要把一般项里的元素重新排序（见下文"指定行指标为自然排列"），这一步用的就是 \(a_{ij} a_{kl} = a_{kl} a_{ij}\)；
- 本章讨论的元素都是数，因为本章的动机是解方程组；但定义本身留了余地，以后（例如多项式矩阵、函数矩阵）还会用到。
特别地，一般元素写 \(a_{ij}\) 时，"\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)、\(j\) 从 \(1\) 到 \(n\)"这个范围由上下文给出。写成 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\) 就是为了把范围一并说清；上下文已经清楚时，简写 \(A = (a_{ij})\) 也不会引起歧义。
一般项：把"不同行不同列"说成排列¶
现在来做本节的核心工作：写出 \(n\) 阶行列式中一项的一般形状。
从方阵里取 \(n\) 个元素，要求它们"不在同一行、也不在同一列"。设取出的元素依次写作
其中第一个下标是行指标、第二个是列指标。把"不同行不同列"翻译成下标的条件：
命题（不同行不同列等价于两个排列）
在 \(n\) 阶方阵中取出 \(n\) 个元素 \(a_{i_1 j_1}, a_{i_2 j_2}, \dots, a_{i_n j_n}\)（要求 \(i_1, \dots, i_n\) 两两不同，\(j_1, \dots, j_n\) 也两两不同）。则
- \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 是 \(1, 2, \dots, n\) 的一个 \(n\) 阶排列；
- \(j_1 j_2 \cdots j_n\) 也是 \(1, 2, \dots, n\) 的一个 \(n\) 阶排列。
反之，任取两个 \(n\) 阶排列 \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 与 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)，对应的 \(n\) 个元素 \(a_{i_1 j_1}, \dots, a_{i_n j_n}\) 就满足"不同行不同列"。
证明
（\(\Rightarrow\)） 行指标 \(i_1, \dots, i_n\) 两两不同，且每个都取自 \(\{1, 2, \dots, n\}\)。\(n\) 个两两不同、又都落在只有 \(n\) 个元素的集合里，说明它们恰好把 \(1, 2, \dots, n\) 各取了一次。按\(n\) 阶排列的定义，\(i_1 i_2 \cdots i_n\) 正是一个 \(n\) 阶排列。列指标 \(j_1, \dots, j_n\) 同理。
（\(\Leftarrow\)） 若 \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 是 \(n\) 阶排列，则行指标两两不同，即这 \(n\) 个元素"不同行"；同理列指标两两不同，即"不同列"。
定义（一般项）
设 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\) 是 \(n\) 阶方阵。对任意两个 \(n\) 阶排列 \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 与 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)，
称为该方阵的一个不同行不同列元素的乘积，或简称为 \(n\) 阶行列式的一项。
把行指标、列指标都写出来时，项可记作 \(a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}\)；只写列指标（行指标取自然排列，见下）时可记作 \(a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}\)。
例题 1（写出三阶方阵的六项）
对 \(3\) 阶方阵 \(A = (a_{ij})_{3 \times 3}\)，按"行指标为自然排列"写出全部六项。
解 只需让列指标 \(j_1 j_2 j_3\) 取遍所有 \(3\) 阶排列（共 \(3! = 6\) 个）：
| 列指标排列 \(j_1 j_2 j_3\) | 对应的一项 |
|---|---|
| \(1\,2\,3\) | \(a_{11} a_{22} a_{33}\) |
| \(1\,3\,2\) | \(a_{11} a_{23} a_{32}\) |
| \(2\,1\,3\) | \(a_{12} a_{21} a_{33}\) |
| \(2\,3\,1\) | \(a_{12} a_{23} a_{31}\) |
| \(3\,1\,2\) | \(a_{13} a_{21} a_{32}\) |
| \(3\,2\,1\) | \(a_{13} a_{22} a_{31}\) |
这六项正是三阶行列式展开式里出现的那六项。
指定行指标或列指标为自然排列¶
写一项要写 \(2n\) 个下标，比较累赘。能不能只写一半？可以——只要借用乘法交换律。
想法
一般项是若干个元素的乘积。既然这些元素关于乘法可交换，我们就可以随意调换它们的次序。于是：能不能通过交换因子的位置，把行指标依次排成 \(1, 2, \dots, n\)？
能。理由是 1.2 的命题：任意排列都可以通过一系列对换化为自然排列。把这一串对换作用在乘积的因子上，就完成了重排。
命题（两种常用写法）
设 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\)，其中元素关于乘法可交换。则方阵的任意一个"不同行不同列元素的乘积"都可以写成下面两种形式之一：
-
指定行指标为自然排列：存在唯一的 \(n\) 阶排列 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)，使该项等于
\[ a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}; \] -
指定列指标为自然排列：存在唯一的 \(n\) 阶排列 \(i_1 i_2 \cdots i_n\)，使该项等于
\[ a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}. \]
证明
以第一种形式为例。设一般项为 \(a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}\)，其中 \(i_1 i_2 \cdots i_n\) 是排列。
把乘积的 \(n\) 个因子重新排序，使行指标从左到右依次为 \(1, 2, \dots, n\)（乘法可交换，允许这样重排）。重排后第 \(k\) 个因子是"第 \(k\) 行中被取到的那个元素"，记其列指标为 \(j'_k\)，即该项等于 \(a_{1 j'_1} a_{2 j'_2} \cdots a_{n j'_n}\)。
由于原来取的是"不同列"的 \(n\) 个元素，所以 \(j'_1, j'_2, \dots, j'_n\) 两两不同，从而由上面的命题它们构成一个 \(n\) 阶排列。唯一性也是显然的：第 \(k\) 行被取到的元素只有 \(a_{k j'_k}\) 一个，\(j'_k\) 被这一项唯一确定。
第二种形式把"行"与"列"的角色互换即可。
例题 2（同一项的两种写法）
设 \(n = 4\)。项 \(a_{31} a_{12} a_{43} a_{24}\) 是不同行不同列的乘积（行指标 \(3,1,4,2\) 是排列，列指标 \(1,2,3,4\) 也是排列）。把它改写成"指定行指标为自然排列"的形式。
解 按行指标 \(1, 2, 3, 4\) 的顺序重排因子：
此时行指标依次为 \(1, 2, 3, 4\)，列指标依次为 \(2, 4, 1, 3\)，而 \(2\,4\,1\,3\) 是 \(4\) 阶排列，符合要求。
也可以按列指标 \(1, 2, 3, 4\) 的顺序重排因子（列指标为 \(1, 2, 3, 4\) 的因子依次是 \(a_{31}, a_{12}, a_{43}, a_{24}\)）：
此时列指标依次为 \(1, 2, 3, 4\)，行指标依次为 \(3, 1, 4, 2\)。两种写法是同一个乘积，只是因子次序不同。
为什么两种写法都要会
后面推导行列式的性质时，有时按行看方便（指定行指标为自然排列），有时按列看方便（指定列指标为自然排列）。两种写法都要能脱口而出，才不会在换视角时出错。
一共有多少项¶
命题（项数）
\(n\) 阶方阵中不同行不同列元素的乘积恰好有 \(n!\) 个。
证明
由前面的命题，每个这样的乘积由一对 \(n\) 阶排列（\(i_1 i_2 \cdots i_n\) 与 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)）确定；但这会重复计数：同一个乘积可以写成很多对排列（例如 \(a_{11} a_{22} = a_{22} a_{11}\) 对应两对排列）。
换个数法。用"指定行指标为自然排列"的写法：每个乘积唯一对应于一个 \(n\) 阶排列 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)，即
反过来，任意给定一个 \(n\) 阶排列 \(j_1 j_2 \cdots j_n\)，上式都给出一个不同行不同列的乘积。
于是"不同行不同列元素的乘积"与"\(n\) 阶排列"之间建立了一一对应。由 1.2 的命题，\(n\) 阶排列共有 \(n!\) 个，故这样的乘积共有 \(n!\) 个。
把这个结论记住
| \(n\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| 项数 \(n!\) | \(2\) | \(6\) | \(24\) | \(120\) |
\(n = 2\) 时 \(2\) 项、\(n = 3\) 时 \(6\) 项，都能用对角线法则写全；\(n = 4\) 时有 \(24\) 项，而对角线只能给出 \(8\) 项——这就是四阶的困难的定量版本。
完整定义预告¶
把上面的准备工作与 1.2 的奇偶性合起来，就得到 \(n\) 阶行列式的完整定义（下一讲的内容）：
定义（\(n\) 阶行列式，下一次课）
设 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\)。称
为方阵 \(A\) 所确定的 \(n\) 阶行列式，记作 \(\det A\)，也常直接记作 \(D\)。
式中求和号 \(\sum\limits_{j_1 j_2 \cdots j_n}\) 表示让 \(j_1 j_2 \cdots j_n\) 取遍所有 \(n\) 阶排列（共 \(n!\) 项）；\(\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)\) 是该排列的逆序数，\((-1)^{\tau}\) 给出这一项的正负号。
也可以按"指定列指标为自然排列"写成
用这个定义核对二阶与三阶
取 \(n = 2\)。\(2\) 阶排列只有 \(12\) 与 \(21\)，\(\tau(12) = 0\)（偶）、\(\tau(21) = 1\)（奇），于是
与二阶行列式的定义一致。
取 \(n = 3\)，六个排列的逆序数依次为
带符号求和恰好给出三阶展开式的三正三负，与对角线法则一致。可见对角线法则只是这个定义在 \(n \le 3\) 时的巧合。
易错点¶
四个常见的错
- 把"不同行不同列"当成"在对角线上"。 只有 \(n \le 3\) 时两者才碰巧吻合；\(n = 4\) 时"每行每列各取一个"的取法有 \(24\) 种，而两条广义对角线只给出 \(8\) 种。
- 数项数时按"两个排列"去数。 一对排列确定一个乘积，但一个乘积可以对应很多对排列，直接数排列对会得到 \(n! \cdot n!\)，远多于实际项数 \(n!\)。正确做法是固定行指标为自然排列，让列指标跑遍所有排列。
- 重排因子时漏掉乘法可交换这个前提。 "指定行指标为自然排列"这一步依赖元素关于乘法可交换；对乘法不可交换的对象（例如矩阵），不能随意重排因子。
- 把 \(a_{ij}\) 的行列指标读反。 \(a_{ij}\) 的第一个下标是行、第二个是列，与"第 \(i\) 个方程中第 \(j\) 个未知量的系数"是同一个约定。