导论¶
本部分不是课本任何一章的内容，而是正式进入高等代数之前需要备好的工具。它对应的问题只有一个：课本第 1 页开始讲数域、讲行列式时，默认你已经会了什么？
答案主要是三样：有序组、关系与商集、求和记号。它们不涉及任何代数结构，但后面几乎每一页都会用到——所以单独成一节，而不是塞进某一章里。
前置知识
- 高中数学的集合初步：元素与属于、子集、交、并、补、差
- 不需要任何线性代数或抽象代数背景
三页的分工¶
| 页面 | 内容 | 后面用在哪里 |
|---|---|---|
| 集合与卡氏积 | 集合运算回顾、有序组、\(X^n\) 与 \(\mathbb{R}^n\) | "关系"的定义；向量的分量表示 |
| 关系与等价类 | 二元关系、等价关系、等价类与商集、划分 | 构造 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)、数域的交、后面的商空间 |
| 连加与连乘 | \(\sum\)、\(\prod\) 的约定与性质；多项式相乘（二重连加与 Cauchy 乘积） | 矩阵乘法、行列式的定义与展开 |
阅读顺序¶
三页是递进的：先有有序组，才能定义关系；有了等价关系，才能把元素分类并得到商集。建议按顺序读。
- 集合与卡氏积 —— 只需要高中集合知识，读起来最快。
- 关系与等价类 —— 本部分的核心，其中"等价类与商集"是必须掌握的，后面的 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 就靠它。
- 连加与连乘 —— 记号约定为主；如果你已经习惯 \(\sum\)、\(\prod\)，可以只扫一眼"常用性质"。
什么时候可以跳过¶
- 已经学过集合论初步、能熟练书写 \(\sum_{i=1}^{n} a_i\) 的读者，可以直接看第一章 行列式；
- 唯一不能确定"是否已会"的是商集：如果你不能立刻说清 \(X/R\) 的元素是什么，请回到关系与等价类把那一节读完再走。